Matar el horizonte

Construcción geométrica en la relatividad general

En física , un horizonte de Killing es una construcción geométrica utilizada en la relatividad general y sus generalizaciones para delinear los límites del espacio-tiempo sin referencia a las ecuaciones de campo dinámicas de Einstein . Matemáticamente, un horizonte de Killing es una hipersuperficie nula definida por la desaparición de la norma de un campo vectorial de Killing (ambos reciben su nombre de Wilhelm Killing ). ^[1] También se puede definir como una hipersuperficie nula generada por un vector de Killing, que a su vez es nulo en esa superficie.

Después de que Hawking demostrara que la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo (sin hacer referencia a las ecuaciones de campo de Einstein) predecía que un agujero negro formado por colapso emitiría radiación térmica , quedó claro que existe una conexión inesperada entre la geometría del espacio-tiempo (horizontes de Killing) y los efectos térmicos para los campos cuánticos. En particular, existe una relación muy general entre la radiación térmica y los espacio-tiempos que admiten un grupo de isometrías de un parámetro que poseen un horizonte de Killing bifurcado, que consiste en un par de hipersuperficies nulas que se intersecan y que son ortogonales al campo de Killing. ^[2]

Espacio-tiempo plano

En el espacio-tiempo de Minkowski , en coordenadas pseudocartesianas con firma, un ejemplo de horizonte de Killing lo proporciona el impulso de Lorentz (un vector de Killing del espacio-tiempo). ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ ${\displaystyle (+,-,-,-),}$

$${\displaystyle V=x\,\partial _{t}+t\,\partial _{x}.}$$

El cuadrado de la norma de es ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle g(V,V)=x^{2}-t^{2}=(x+t)(x-t).}$$

Por lo tanto, es nulo sólo en los hiperplanos de ecuaciones ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle x+t=0,{\text{ and }}x-t=0,}$$

que, tomados en conjunto, son los horizontes de matanza generados por . ^[3] ${\displaystyle V}$

Agujero negro Matando horizontes

Las métricas exactas de agujeros negros, como la métrica de Kerr-Newman, contienen horizontes de Killing, que pueden coincidir con sus ergosferas . Para este espacio-tiempo, el horizonte de Killing correspondiente se encuentra en

$${\displaystyle r=r_{e}:=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.}$$

En las coordenadas habituales, fuera del horizonte de Killing, el campo vectorial de Killing es temporal, mientras que dentro de él es espacial. ${\displaystyle \partial /\partial t}$

Además, considerando una combinación lineal particular de y , ambos campos vectoriales de Killing, se obtiene un horizonte de Killing que coincide con el horizonte de eventos. ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ${\displaystyle \partial /\partial \phi }$

Asociada a un horizonte Killing hay una cantidad geométrica conocida como gravedad superficial , . Si la gravedad superficial desaparece, se dice que el horizonte Killing está degenerado. ^[3] ${\displaystyle \kappa }$

La temperatura de la radiación de Hawking , encontrada aplicando la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvado a los agujeros negros, está relacionada con la gravedad superficial mediante la constante de Boltzmann y la constante de Planck reducida. ${\displaystyle c^{2}\kappa }$ ${\displaystyle T_{H}={\frac {\hbar c\kappa }{2\pi k_{B}}}}$ ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle \hbar }$

Horizontes de matanza cosmológica

El espacio de De Sitter tiene un horizonte Killing en , que emite radiación térmica a una temperatura . ${\textstyle r={\sqrt {3/\Lambda }}}$ ${\textstyle T={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\Lambda }}}$

Más detalles

El término "horizonte de Killing" tiene su origen en el campo vectorial de Killing, un concepto de geometría diferencial. Un campo vectorial de Killing, en un espacio-tiempo dado, es un campo vectorial que preserva la métrica. ^[4]

En el contexto de los agujeros negros, el horizonte Killing suele asociarse con el horizonte de sucesos. Sin embargo, no siempre son iguales. Por ejemplo, en un agujero negro en rotación (un agujero negro de Kerr), el horizonte de sucesos y el horizonte Killing no coinciden. ^[5]

El concepto de horizonte de sucesos es importante en el estudio de la radiación de Hawking. Se trata de una predicción teórica según la cual los agujeros negros deberían emitir radiación debido a los efectos cuánticos cerca del horizonte de sucesos. ^[6]

El horizonte asesino también juega un papel en el estudio de las hipótesis de censura cósmica, que proponen que las singularidades (puntos donde las cantidades se vuelven infinitas) siempre están ocultas dentro de los agujeros negros y, por lo tanto, no pueden observarse desde el resto del Universo. ^[7]

Referencias

1. Reall, Harvey (2008). agujeros negros (PDF) . p. 17. Archivado desde el original (PDF) el 2015-07-15 . Consultado el 2015-07-15 .
2. Kay, Bernard S.; Wald, Robert M. (agosto de 1991). "Teoremas sobre la unicidad y las propiedades térmicas de estados estacionarios, no singulares y cuasi libres en espaciotiempos con un horizonte Killing bifurcado". Physics Reports . 207 (2): 49-136. Bibcode :1991PhR...207...49K. doi :10.1016/0370-1573(91)90015-E.
3. Chruściel, PT (2005). "Agujeros negros, una introducción". En Ashtekar, A. (ed.). 100 años de relatividad; estructuras espacio-temporales: Einstein y más allá . World Scientific.
4. Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2 . 
5. Carroll, Sean M. (2004). Espacio-tiempo y geometría . Addison Wesley. ISBN 0-8053-8732-3 . 
6. Hawking, SW (1974). "¿Explosiones de agujeros negros?". Nature . 248 (5443): 30–31. Bibcode :1974Natur.248...30H. doi :10.1038/248030a0.
7. Penrose, Roger (1969). "Colapso gravitacional: el papel de la relatividad general". Revista del Nuevo Cimento . 1: 252–276. Código Bibliográfico :1969NCimR...1..252P. doi :10.1007/BF02710419.