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Descomposición de Hopf

En matemáticas , la descomposición de Hopf , llamada así por Eberhard Hopf , da una descomposición canónica de un espacio de medida ( X , μ) con respecto a una transformación no singular invertible T : X → X , es decir, una transformación que con su inversa es medible y lleva conjuntos nulos a conjuntos nulos. Hasta conjuntos nulos, X puede escribirse como una unión disjunta C ∐ D de conjuntos T -invariantes donde la acción de T sobre C es conservativa y la acción de T sobre D es disipativa . Por lo tanto, si τ es el automorfismo de A = L ∞ ( X ) inducido por T , existe una única proyección τ-invariante p en A tal que pA es conservativa y (I–p)A es disipativa.

Definiciones

Teorema de recurrencia

Teorema. Si T es una transformación invertible en un espacio de medida ( X ,μ) que preserva los conjuntos nulos, entonces las siguientes condiciones son equivalentes en T (o su inversa): [1]

  1. T es conservador ;
  2. T es recurrente;
  3. T es infinitamente recurrente;
  4. T es incompresible.

Dado que T es disipativo si y solo si T −1 es disipativo, se deduce que T es conservativo si y solo si T −1 es conservativo.

Si T es conservativo, entonces r = q ∧ (τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ⊥ = q ∧ τ(1 - q ) ∧ τ 2 (1 - q ) ∧ τ 3 ( q ) ∧ ... es errante de modo que si q < 1, necesariamente r = 0. Por lo tanto, q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅, de modo que T es recurrente.

Si T es recurrente, entonces q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ Ahora supongamos por inducción que q ≤ τ k ( q ) ∨ τ k +1 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Entonces τ k ( q ) ≤ τ k +1 ( q ) ∨ τ k +2 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤ . Por lo tanto q ≤ τ k +1 ( q ) ∨ τ k +2 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Así que el resultado es válido para k +1 y, por tanto, T es infinitamente recurrente. A la inversa, por definición, una transformación infinitamente recurrente es recurrente.

Supongamos ahora que T es recurrente. Para demostrar que T es incompresible hay que demostrar que, si τ( q ) ≤ q , entonces τ( q ) ≤ q . De hecho, en este caso τ n ( q ) es una sucesión decreciente. Pero por recurrencia, q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ , por lo que q ≤ τ( q ) y, por tanto, q = τ( q ).

Finalmente, supongamos que T es incompresible. Si T no es conservativo, hay un p ≠ 0 en A con τ n ( p ) disjunto (ortogonal). Pero entonces q = p ⊕ τ( p ) ⊕ τ 2 ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ satisface τ( q ) < q con q − τ( q ) = p ≠ 0 , contradiciendo la incompresibilidad. Por lo tanto, T es conservativo.

Descomposición de Hopf

Teorema. Si T es una transformación invertible en un espacio de medida ( X , μ ) que preserva los conjuntos nulos e induce un automorfismo τ de A = L ∞ ( X ), entonces existe un único τ -invariante p = χ C en A tal que τ es conservativo en pA = L ∞ ( C ) y disipativo en (1 −  p ) A = L ∞ ( D ) donde D =  X  \  C . [2]

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que μ es una medida de probabilidad. Si T es conservador, no hay nada que demostrar, ya que en ese caso C = X . De lo contrario, hay un conjunto errante W para T . Sea r = χ W y q = ⊕ τ n ( r ). Por lo tanto, q es τ -invariante y disipativo. Además, μ ( q ) > 0. Claramente, una suma directa ortogonal de tales q ′s disipativos τ -invariantes es también τ -invariante y disipativo; y si q es τ -invariante y disipativo y r < q es τ -invariante, entonces r es disipativo. Por lo tanto, si q 1 y q 2 son τ -invariantes y disipativas, entonces q 1 ∨ q 2 es τ -invariante y disipativa, ya que q 1 ∨ q 2 = q 1 ⊕ q 2 (1 −  q 1 ). Ahora sea M el supremo de todos los μ ( q ) con q τ -invariante y disipativa. Tome q n τ -invariante y disipativa tal que μ ( q n ) aumenta a M . Reemplazando q n por q 1 ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q n , se puede suponer que q n es creciente a q digamos. Por continuidad q es τ -invariante y μ ( q ) = M . Por maximalidad p = I − q es conservativo. La unicidad es clara ya que ningún τ -invariante r < p es disipativo y todo τ -invariante r < q es disipativo.

Corolario. La descomposición de Hopf para T coincide con la descomposición de Hopf para T −1 .

Dado que una transformación es disipativa en un espacio de medida si y solo si su inversa es disipativa, las partes disipativas de T y T −1 coinciden. Por lo tanto, también lo hacen las partes conservativas.

Corolario. La descomposición de Hopf para T coincide con la descomposición de Hopf para T n para n > 1.

Si W es un conjunto errante para T, entonces es un conjunto errante para T n . Por lo tanto, la parte disipativa de T está contenida en la parte disipativa de T n . Sea σ = τ n . Para demostrar lo inverso, basta con mostrar que si σ es disipativo, entonces τ es disipativo. Si no, utilizando la descomposición de Hopf, se puede suponer que σ es disipativo y τ conservativo. Supóngase que p es una proyección errante distinta de cero para σ. Entonces τ a ( p ) y τ b ( p ) son ortogonales para diferentes a y b en la misma clase de congruencia módulo n . Tómese un conjunto de τ a ( p ) con producto distinto de cero y tamaño máximo. Por lo tanto | S | ≤ n . Por maximalidad, r es errante para τ, una contradicción.

Corolario. Si una transformación invertible T actúa ergódicamente pero no transitivamente sobre el espacio de medida ( X , μ ) preservando los conjuntos nulos y B es un subconjunto con μ ( B ) > 0, entonces el complemento de B ∪ TB ∪ T 2 B ∪ ⋅⋅⋅ tiene medida cero.

Nótese que la ergodicidad y la no transitividad implican que la acción de T es conservativa y, por lo tanto, infinitamente recurrente. Pero entonces B ≤ T m ( B ) ∨ T m + 1 ( B ) ∨ T m +2 ( B ) ∨ ... para cualquier m ≥ 1. Aplicando T − m , se deduce que T − m ( B ) se encuentra en Y = B ∪ TB ∪ T 2 B ∪ ⋅⋅⋅ para cada m > 0. Por ergodicidad μ ( X \ Y ) = 0.

Descomposición de Hopf para un flujo no singular

Sea ( X ,μ) un espacio de medida y S t un flujo no angular en X que induce un grupo de automorfismos de 1 parámetro σ t de A = L ∞ ( X ). Se supondrá que la acción es fiel, de modo que σ t es la identidad solo para t = 0. Para cada S t o equivalentemente σ t con t ≠ 0 hay una descomposición de Hopf, por lo que un p t fijado por σ t tal que la acción es conservativa en p t A y disipativa en (1− p t ) A .

Esto se deduce del hecho de que para cualquier transformación invertible no singular, las partes conservativas y disipativas de T y T n coinciden para n ≠ 0.
  1. p > σ t ( p ) para todo t > 0
  2. λ( p – σ t ( p )) = t para todo t > 0
  3. σ t ( p ) 1 cuando t tiende a −∞ y σ t ( p ) 0 cuando t tiende a +∞.
Sea T = S 1 . Tome q un conjunto errante para T de modo que ⊕ τ n ( q ) = 1. Cambiando μ a una medida equivalente, se puede suponer que μ( q ) = 1, de modo que μ se restringe a una medida de probabilidad en qA . Transportando esta medida a τ n ( q ) A , se puede suponer además que μ es τ-invariante en A . Pero entonces λ = ∫1
0 μ ∘ σ t dt es una medida σ-invariante equivalente en A que puede reescalarse si es necesario de modo que λ( q ) = 1. Los r en A que vagan para Τ (o τ) con ⊕ τ n ( r ) = 1 se describen fácilmente: están dados por r = ⊕ τ n ( q n ) donde q = ⊕ q n es una descomposición de q . En particular λ( r ) = 1. Además, si p satisface p > τ( p ) y τ – n ( p ) 1, entonces λ( p – τ( p )) = 1, aplicando el resultado a r = p – τ( p ). Los mismos argumentos muestran que, a la inversa, si r es errante para τ y λ( r ) = 1, entonces ⊕ τ n ( r ) = 1 .
Sea Q = q ⊕ τ( q ) ⊕ τ 2 ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅ de modo que τ k ( Q ) < Q para k ≥ 1. Entonces a = ∫∞
0σ t ( q ) dt = Σ k ≥0 ∫1
0σ k + t ( q ) dt = ∫1
0σ t ( Q ) dt de modo que 0 ≤ a ≤ 1 en A . Por definición σ s ( a ) ≤ a para s ≥ 0, ya que a − σ s ( a ) = ∫∞
enσ t ( q ) dt . Las mismas fórmulas muestran que σ s ( a ) tiende a 0 o 1 cuando s tiende a +∞ o −∞. Hagamos p = χ [ε,1] (a) para 0 < ε < 1. Entonces σ s ( p ) = χ [ε,1] (σ s ( a )). Se sigue inmediatamente que σ s ( p ) ≤ p para s ≥ 0. Además σ s ( p ) 0 cuando s tiende a +∞ y σ s ( p ) 1 cuando s tiende a − ∞. La primera fórmula límite se sigue porque 0 ≤ ε ⋅ σ s ( p ) ≤ σ s ( a ). Ahora bien, el mismo razonamiento puede aplicarse a τ −1 , σ − t , τ −1 ( q ) y 1 – ε en lugar de τ, σ t , q y ε. Entonces se comprueba fácilmente que las cantidades correspondientes a a y p son 1 − a y 1 − p . En consecuencia, σ − t (1− p ) 0 cuando t tiende a ∞. Por tanto, σ s ( p ) 1 cuando s tiende a − ∞. En particular, p ≠ 0 , 1.
Así, r = p − τ( p ) es errante para τ y ⊕ τ k ( r ) = 1. Por lo tanto, λ( r ) = 1. Se deduce que λ( p −σ s ( p ) ) = s para s = 1/ n y, por lo tanto, para todo racional s > 0. Puesto que la familia σ s ( p ) es continua y decreciente, por continuidad la misma fórmula también se cumple para todo real s > 0. Por lo tanto, p satisface todas las condiciones afirmadas.
El resultado anterior muestra que si S t es disipativo en X para t ≠ 0, entonces también lo es todo S s para s ≠ 0. Por unicidad, S t y S s preservan las partes disipativas del otro. Por lo tanto, cada uno es disipativo en la parte disipativa del otro, por lo que las partes disipativas concuerdan. Por lo tanto, las partes conservativas concuerdan.

Véase también

Notas

  1. ^ Krengel 1985, págs. 16-17
  2. ^ Krengel 1985, págs. 17-18
  3. ^ Krengel 1985, pág. 18
  4. ^ Krengel 1968, pág. 183

Referencias