función matemática
En matemáticas , la función delta de Hooley ( )
, también llamada Erdős--función delta de Hooley , define el número máximo de divisores de in para todos , donde es el número de Euler . Los primeros términos de esta secuencia son![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [u,eu]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(secuencia A226898 en la OEIS ).
Historia
La secuencia fue introducida por primera vez por Paul Erdős en 1974, [1] y luego estudiada por Christopher Hooley en 1979. [2]
En 2023, Dimitris Koukoulopoulos y Terence Tao demostraron que la suma de los primeros términos, , para . [3] En particular, el orden promedio de to es para any . [4]![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle \sum _ {k=1}^{n}\Delta (k)\ll n(\log \log n)^{11/4}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 100}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle O((\log n)^{k})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Más tarde, en 2023, Kevin Ford , Koukoulopoulos y Tao demostraron el límite inferior , donde , fijo y . [5]![{\displaystyle \textstyle \sum _ {k=1}^{n}\Delta (k)\gg n(\log \log n)^{1+\eta -\epsilon }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta =0,3533227\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\epsilon}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 100}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Uso
Esta función mide la tendencia de los divisores de un número a agruparse.
El crecimiento de esta secuencia está limitado por dónde está el número de divisores de . [6]![{\displaystyle \Delta (mn)\leq \Delta (n)d(m)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Erdös, Paul (1974). "Sobre números abundantes". Boletín de Matemáticas Canadiense . 17 (4): 599–602. doi : 10.4153/CMB-1974-108-5 . S2CID 124183643.
- ^ Hooley, Christopher. «Sobre una nueva técnica y sus aplicaciones a la teoría de números» (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense . Archivado (PDF) desde el original el 17 de diciembre de 2022 . Consultado el 17 de diciembre de 2022 .
- ^ Koukoulopoulos, D.; Tao, T. (2023). "Un límite superior del valor medio de la función Delta Erdős-Hooley". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 127 (6): 1865–1885. arXiv : 2306.08615 . doi :10.1112/plms.12572.
- ^ "O" significa la notación O grande .
- ^ Vado, Kevin; Koukoulopoulos, Dimitris; Tao, Terence (2023). "Un límite inferior del valor medio de la función Delta de Erdős-Hooley". arXiv : 2308.11987 [matemáticas.NT].
- ^ Greathouse, Charles R. "Secuencia A226898 (Función Delta de Hooley: número máximo de divisores de n en [u, eu] para todos u. (Aquí e es el número de Euler 2,718... = A001113.))". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 18 de diciembre de 2022 .