La historia de la gravedad cuántica de bucles abarca más de tres décadas de intensa investigación.
La relatividad general es la teoría de la gravitación publicada por Albert Einstein en 1915. Según ella, la fuerza de la gravedad es una manifestación de la geometría local del espacio-tiempo . Matemáticamente, la teoría se basa en la geometría métrica de Bernhard Riemann , pero el grupo de simetrías del espacio-tiempo de Lorentz (un ingrediente esencial de la teoría de la relatividad especial del propio Einstein ) reemplaza al grupo de simetrías rotacionales del espacio. (Más tarde, la gravedad cuántica de bucles heredó esta interpretación geométrica de la gravedad y postula que una teoría cuántica de la gravedad es fundamentalmente una teoría cuántica del espacio-tiempo).
En la década de 1920, el matemático francés Élie Cartan formuló la teoría de Einstein en el lenguaje de los haces y las conexiones, [1] una generalización de la geometría de Riemann a la que Cartan hizo importantes contribuciones. La llamada teoría de la gravedad de Einstein-Cartan no solo reformuló sino que también generalizó la relatividad general, y permitió espacio-tiempos con torsión además de curvatura. En la geometría de haces de Cartan, el concepto de transporte paralelo es más fundamental que el de distancia , la pieza central de la geometría de Riemann. Un cambio conceptual similar ocurre entre el intervalo invariante de la relatividad general de Einstein y el transporte paralelo de la teoría de Einstein-Cartan.
En 1971, el físico Roger Penrose exploró la idea de que el espacio surge de una estructura combinatoria cuántica. [2] [3] Sus investigaciones dieron como resultado el desarrollo de redes de espín . Como se trataba de una teoría cuántica del grupo rotacional y no del grupo de Lorentz, Penrose pasó a desarrollar twistores . [4]
En 1982, Amitabha Sen intentó formular una formulación hamiltoniana de la relatividad general basada en variables espinoriales , donde estas variables son los componentes espinoriales izquierdo y derecho equivalentes de la conexión de Einstein-Cartan de la relatividad general. [5] En particular, Sen descubrió una nueva forma de escribir las dos restricciones de la formulación hamiltoniana ADM de la relatividad general en términos de estas conexiones espinoriales. En su forma, las restricciones son simplemente condiciones de que la curvatura espinorial de Weyl esté libre de trazas y sea simétrica. También descubrió la presencia de nuevas restricciones que sugirió que se interpretaran como el equivalente de la restricción de Gauss de las teorías de campos de Yang-Mills . Pero el trabajo de Sen no logró proporcionar una teoría sistemática clara y completa y, en particular, no logró discutir claramente los momentos conjugados a las variables espinoriales, su interpretación física y su relación con la métrica (en su trabajo indicó esto como una variable lambda).
En 1986-87, el físico Abhay Ashtekar completó el proyecto que comenzó Amitabha Sen. Identificó claramente las variables conjugadas fundamentales de la gravedad espinorial: la variable de configuración es como una conexión espinoral (una regla para el transporte paralelo; técnicamente, una conexión ) y la variable de momento conjugado es un marco de coordenadas (llamado vierbein ) en cada punto. [6] [7] Entonces estas variables se convirtieron en lo que conocemos como variables de Ashtekar , un sabor particular de la teoría de Einstein-Cartan con una conexión compleja. La teoría de la relatividad general expresada de esta manera, hizo posible perseguir la cuantización de la misma utilizando técnicas bien conocidas de la teoría cuántica de campos de calibre .
La cuantificación de la gravedad en la formulación de Ashtekar se basó en bucles de Wilson , una técnica desarrollada por Kenneth G. Wilson en 1974 [8] para estudiar el régimen de interacción fuerte de la cromodinámica cuántica (QCD). Es interesante en este sentido que se sabía que los bucles de Wilson se comportaban mal en el caso de la teoría cuántica de campos estándar en el espacio (plano) de Minkowski, y por lo tanto no proporcionaban una cuantificación no perturbativa de la QCD. Sin embargo, debido a que la formulación de Ashtekar era independiente del fondo , fue posible utilizar los bucles de Wilson como base para la cuantificación no perturbativa de la gravedad .
Gracias a los esfuerzos de Sen y Ashtekar, se obtuvo un entorno en el que la ecuación de Wheeler-DeWitt se escribió en términos de un operador hamiltoniano bien definido en un espacio de Hilbert bien definido . Esto condujo a la construcción de la primera solución exacta conocida, la llamada forma de Chern-Simons o estado de Kodama . La interpretación física de este estado sigue siendo oscura.
En 1988-90, Carlo Rovelli y Lee Smolin obtuvieron una base explícita de los estados de la geometría cuántica, que resultaron estar etiquetados por las redes de espín de Penrose. [9] [10] En este contexto, las redes de espín surgieron como una generalización de los bucles de Wilson necesarios para tratar con bucles que se intersecan mutuamente. Matemáticamente, las redes de espín están relacionadas con la teoría de representación de grupos y se pueden utilizar para construir invariantes de nudos como el polinomio de Jones . La gravedad cuántica de bucles (LQG) se relacionó así con la teoría cuántica de campos topológicos y la teoría de representación de grupos.
En 1994, Rovelli y Smolin demostraron que los operadores cuánticos de la teoría asociados al área y al volumen tienen un espectro discreto. [11] El trabajo sobre el límite semiclásico, el límite continuo y la dinámica fue intenso después de esto, pero el progreso fue más lento.
En el frente límite semiclásico, el objetivo es obtener y estudiar análogos de los estados coherentes del oscilador armónico (los candidatos se conocen como estados de tejido).
La LQG se formuló inicialmente como una cuantificación del formalismo hamiltoniano ADM, según el cual las ecuaciones de Einstein son una colección de restricciones (Gauss, Diffeomorfismo y Hamiltoniano). La cinemática está codificada en las restricciones de Gauss y Diffeomorfismo, cuya solución es el espacio abarcado por la base de la red de espín. El problema es definir la restricción hamiltoniana como un operador autoadjunto en el espacio de estados cinemático. El trabajo más prometedor [ ¿según quién? ] en esta dirección es el Proyecto Phoenix de Thomas Thiemann. [12]
Gran parte del trabajo reciente [¿ hasta ahora? ] en LQG se ha realizado en la formulación covariante de la teoría, llamada " teoría de la espuma de espín ". La versión actual de la dinámica covariante se debe al trabajo convergente de diferentes grupos, pero comúnmente se la nombra así por un artículo de Jonathan Engle, Roberto Pereira y Carlo Rovelli en 2007-08. [13] Heurísticamente, se esperaría que la evolución entre los estados de la red de espín pudiera describirse mediante operaciones combinatorias discretas en las redes de espín, que luego trazarían un esqueleto bidimensional del espacio-tiempo. Este enfoque está relacionado con los modelos de suma de estados de la mecánica estadística y la teoría cuántica de campos topológica, como el modelo de Turaeev-Viro de la gravedad cuántica 3D, y también con el enfoque del cálculo de Regge para calcular la integral de trayectoria de Feynman de la relatividad general discretizando el espacio-tiempo.