Modelo muscular de Hill

En biomecánica , el modelo muscular de Hill se refiere al modelo de 3 elementos que consiste en un elemento contráctil (CE) en serie con un elemento elástico de resorte ligeramente amortiguado (SE) y en paralelo con un elemento elástico paralelo ligeramente amortiguado (PE). Dentro de este modelo, la relación fuerza-velocidad estimada para el elemento CE generalmente se modela mediante lo que comúnmente se denomina ecuación de Hill, que se basó en experimentos cuidadosos que involucraban la contracción muscular tetanizada donde se midieron varias cargas musculares y velocidades asociadas. Fueron derivadas por el famoso fisiólogo Archibald Vivian Hill , quien en 1938, cuando presentó este modelo y ecuación, ya había ganado el Premio Nobel de Fisiología. Continuó publicando en esta área hasta 1970. Existen muchas formas de los modelos básicos "basados ​​en Hill" o "tipo Hill", con cientos de publicaciones que han utilizado esta estructura de modelo para estudios experimentales y de simulación. La mayoría de los principales paquetes de simulación musculoesquelética hacen uso de este modelo.

Ecuación de fuerza-velocidad de AV Hill para el músculo tetanizado

Esta es una ecuación de estado popular aplicable al músculo esquelético que ha sido estimulado para mostrar contracción tetánica . Relaciona la tensión con la velocidad con respecto a la termodinámica interna . La ecuación es

${\displaystyle \left(v+b\right)(F+a)=b(F_{0}+a),\qquad (1)}$

dónde

• ${\displaystyle F}$es la tensión (o carga) en el músculo
• ${\displaystyle v}$es la velocidad de contracción
• ${\displaystyle F_{0}}$es la tensión (o carga) isométrica máxima generada en el músculo
• ${\displaystyle a}$coeficiente de calor de acortamiento
• ${\displaystyle b=a\cdot v_{0}/F_{0}}$
• ${\displaystyle v_{0}}$es la velocidad máxima, cuando ${\displaystyle F=0}$

Aunque la ecuación de Hill se parece mucho a la ecuación de van der Waals , la primera tiene unidades de disipación de energía , mientras que la segunda tiene unidades de energía . La ecuación de Hill demuestra que la relación entre F y v es hiperbólica . Por lo tanto, cuanto mayor sea la carga aplicada al músculo, menor será la velocidad de contracción. De manera similar, cuanto mayor sea la velocidad de contracción, menor será la tensión en el músculo. Se ha descubierto que esta forma hiperbólica se ajusta a la constante empírica solo durante contracciones isotónicas cercanas a la longitud de reposo. ^[1]

La tensión muscular disminuye a medida que aumenta la velocidad de acortamiento. Esta característica se ha atribuido a dos causas principales. La principal parece ser la pérdida de tensión a medida que los puentes cruzados en el elemento contráctil se reforman en una condición acortada. La segunda causa parece ser la viscosidad del fluido tanto en el elemento contráctil como en el tejido conectivo. Cualquiera que sea la causa de la pérdida de tensión, se trata de una fricción viscosa y, por lo tanto, se puede modelar como un amortiguador de fluidos . ^[2]

Modelo de tres elementos

Longitud muscular vs. fuerza. En el modelo muscular de Hill, las fuerzas activa y pasiva son respectivamente y . ${\displaystyle F_{CE}}$ ${\displaystyle F_{PE}}$

Modelo de músculo elástico de Hill. F: Fuerza; CE: Elemento Contráctil; SE: Elemento Serie; PE: Elemento Paralelo.

El modelo muscular de Hill de tres elementos es una representación de la respuesta mecánica muscular. El modelo está constituido por un elemento contráctil ( CE ) y dos elementos elásticos no lineales , uno en serie ( SE ) y otro en paralelo ( PE ). La fuerza activa del elemento contráctil proviene de la fuerza generada por los puentes cruzados de actina y miosina a nivel del sarcómero . Es totalmente extensible cuando está inactivo pero capaz de acortarse cuando está activado. Los tejidos conectivos ( fascia , epimisio , perimisio y endomisio ) que rodean al elemento contráctil influyen en la curva fuerza-longitud del músculo. El elemento paralelo representa la fuerza pasiva de estos tejidos conectivos y tiene un comportamiento mecánico de tejido blando . El elemento paralelo es responsable del comportamiento pasivo del músculo cuando se estira , incluso cuando el elemento contráctil no está activado. El elemento serie representa el tendón y la elasticidad intrínseca de los miofilamentos. También tiene una respuesta de tejido blando y proporciona un mecanismo de almacenamiento de energía. ^{[2] [3]}

Las características netas de fuerza-longitud de un músculo son una combinación de las características de fuerza-longitud de los elementos activos y pasivos. Las fuerzas en el elemento contráctil, en el elemento en serie y en el elemento en paralelo, , y , respectivamente, satisfacen ${\displaystyle F^{CE}}$ ${\displaystyle F^{SE}}$ ${\displaystyle F^{PE}}$

${\displaystyle F=F^{PE}+F^{SE},\qquad F^{CE}=F^{SE},\qquad (2)}$

Por otra parte, la longitud del músculo y las longitudes , y de esos elementos satisfacen ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{CE}}$ ${\displaystyle L^{SE}}$ ${\displaystyle L^{PE}}$

${\displaystyle L=L^{PE},\qquad L=L^{CE}+L^{SE},\qquad (3)}$

Durante las contracciones isométricas, el componente elástico en serie está bajo tensión y, por lo tanto, se estira en una cantidad finita. Debido a que la longitud total del músculo se mantiene constante, el estiramiento del elemento en serie solo puede ocurrir si hay un acortamiento equivalente del propio elemento contráctil. ^[2]

Las fuerzas en los elementos paralelos, en serie y contráctiles se definen por: donde son medidas de deformación para los diferentes elementos definidos por: donde es la longitud del músculo deformado y es la longitud del músculo deformado debido al movimiento del elemento contráctil, ambas de la ecuación (3). es la longitud en reposo del músculo. se puede dividir como . El término de fuerza, , es la fuerza muscular isométrica máxima y las funciones están dadas por: $${\displaystyle F^{PE}(\lambda _{f})=F_{0}f^{PE}(\lambda _{f}),\qquad F^{SE}(\lambda ^{SE},\lambda ^{CE})=F_{0}f^{SE}(\lambda ^{SE},\lambda ^{CE}),\qquad F^{CE}(\lambda ^{CE},{\dot {\lambda }}^{CE},a)=F_{0}f_{L}^{CE}(\lambda ^{CE})f_{V}^{CE}({\dot {\lambda }}^{CE})a,\qquad (4)}$$ ${\textstyle \lambda _{f},\lambda _{CE},\lambda _{SE}}$ $${\displaystyle \lambda _{f}={\frac {L}{L_{0}}},\quad \lambda ^{CE}={\frac {L^{CE}}{L_{0}}},\quad \lambda ^{SE}={\frac {L}{L^{CE}}},\qquad (5)}$$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L^{CE}}$ ${\textstyle L_{0}}$ ${\displaystyle \lambda _{f}}$ ${\textstyle \lambda _{f}=\lambda ^{SE}\lambda ^{CE}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\textstyle f^{PE},f^{SE},f_{L}^{CE},f_{V}^{CE}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}f^{PE}(\lambda _{f})={\begin{cases}2cA(\lambda _{f}-1)e^{c(\lambda _{f}-1)^{2}},&\lambda _{f}>1\\{\text{0}},&{\text{otherwise}}\end{cases}},&(6)\\[4pt]f^{SE}(\lambda ^{SE},\lambda ^{CE})={\begin{cases}0.1(e^{100\lambda ^{CE}(\lambda ^{SE}-1)}-1),&\lambda ^{SE}\geq 1\\{\text{0}},&{\text{otherwise}}\end{cases}},&(7)\\[4pt]f_{L}^{CE}(\lambda ^{CE})={\begin{cases}-4(\lambda ^{CE}-1)^{2}+1,&0.5\leq \lambda ^{CE}\leq 1.5\\{\text{0}},&{\text{otherwise}}\end{cases}},&(8)\\[4pt]f_{V}^{CE}({\dot {\lambda }}^{CE})={\begin{cases}{\text{0}},&{\dot {\lambda }}^{CE}<-10s^{-1}\\-{\frac {1}{\arctan(5)}}\arctan(-0.5{\dot {\lambda }}^{CE})+1,&-10s^{-1}\leq {\dot {\lambda }}^{CE}\leq 2s^{-1}\\{\frac {\pi }{4\arctan(5)}}+1,&{\dot {\lambda }}^{CE}>2s^{-1}\end{cases}},&(9)\end{array}}}$$

donde son constantes empíricas. La función de la ecuación (4) representa la activación muscular. Se define con base en la ecuación diferencial ordinaria: donde son constantes de tiempo relacionadas con el aumento y la disminución de la activación muscular y es un límite mínimo, todo determinado a partir de experimentos. es la excitación neuronal que conduce a la contracción muscular. ^{[4] [5]} ${\displaystyle c,A}$ ${\displaystyle a(t)}$ $${\displaystyle {\frac {da(t)}{dt}}={\frac {1}{\tau _{rise}}}(1-a(t)u(t)+{\frac {1}{\tau _{fall}}}(a_{min}-a(t))(1-u(t))),\qquad (10)}$$ ${\displaystyle \tau _{rise},\tau _{fall}}$ ${\displaystyle a_{min}}$ ${\displaystyle u(t)}$

Viscoelasticidad

Los músculos presentan viscoelasticidad , por lo tanto, se puede incluir un amortiguador viscoso en el modelo, cuando se considera la dinámica de la contracción críticamente amortiguada de segundo orden . Un modelo común para la viscosidad muscular es un amortiguador de forma exponencial , donde

${\displaystyle F_{D}=k({\dot {L}}_{D})^{a},\qquad (11)}$

se añade a la ecuación global del modelo, cuyos y son constantes. ^[2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a}$

Véase también

• Contracción muscular

Referencias

1. Hill, AV (octubre de 1938). "El calor de acortamiento y las constantes dinámicas de los músculos". Proc. R. Soc. Lond. B . 126 (843). Londres: Royal Society: 136–195. doi : 10.1098/rspb.1938.0050 .
2. Fung, Y.-C. (1993). Biomecánica: propiedades mecánicas de los tejidos vivos . Nueva York: Springer-Verlag. p. 568. ISBN 0-387-97947-6.
3. Martins, JAC; Pires, EB; Salvado, R.; Dinis, PB (1998). "Modelo numérico del comportamiento pasivo y activo de los músculos esqueléticos". Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería . 151 (3–4). Elsevier: 419–433. Bibcode :1998CMAME.151..419M. doi :10.1016/S0045-7825(97)00162-X.
4. Pandy, Marcus G.; Zajac, Felix E.; Sim, Eunsup; Levine, William S. (1 de enero de 1990). "Un modelo de control óptimo para el salto humano de altura máxima". Journal of Biomechanics . 23 (12): 1185–1198. doi : 10.1016/0021-9290(90)90376-E . ISSN  0021-9290. PMID  2292598.
5. Martins, JAC; Pato, MPM; Pires, EB (1 de septiembre de 2006). "Un modelo de elementos finitos de músculos esqueléticos". Prototipado virtual y físico . 1 (3): 159–170. doi :10.1080/17452750601040626. ISSN  1745-2759. S2CID  137665181.