Esquema utilizado en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales
Esquema típico de alta resolución basado en la reconstrucción MUSCL.
Los esquemas de alta resolución se utilizan en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales donde se requiere una gran precisión en presencia de choques o discontinuidades. Tienen las siguientes propiedades:
Se obtiene una precisión espacial de segundo orden o superior en partes suaves de la solución.
Las soluciones están libres de oscilaciones o movimientos espurios.
Se obtiene una alta precisión en situaciones de choques y discontinuidades.
El número de puntos de malla que contienen la onda es pequeño en comparación con un esquema de primer orden con precisión similar.
Los métodos generales a menudo no son adecuados para la resolución precisa de fenómenos de gradientes pronunciados; generalmente introducen efectos no físicos como el emborronamiento de la solución u oscilaciones espurias . Desde la publicación del teorema de barrera de orden de Godunov , que demostró que los métodos lineales no pueden proporcionar soluciones no oscilatorias superiores al primer orden (Godunov 1954, Godunov 1959), estas dificultades han atraído mucha atención y se han desarrollado varias técnicas que superan en gran medida estos problemas. Para evitar oscilaciones espurias o no físicas donde hay choques, los esquemas que exhiben una característica de variación total decreciente (TVD) son especialmente atractivos. Dos técnicas que están demostrando ser particularmente efectivas son MUSCL ( Monotone Upstream-Centered Schemes for Conservation Laws ), un método de limitador de flujo/pendiente (van Leer 1979, Hirsch 1991, Anderson, Tannehill & Pletcher 2016, Laney 1998, Toro 1999) y el método WENO ( Weighted Essentially Non-Oscillatory ) (Shu 1998, Shu 2009). Ambos métodos suelen denominarse esquemas de alta resolución (ver diagrama).
Los métodos MUSCL suelen tener una precisión de segundo orden en regiones suaves (aunque se pueden formular para órdenes superiores) y proporcionan soluciones monótonas con buena resolución en torno a discontinuidades. Son fáciles de implementar y computacionalmente eficientes.
Para problemas que comprenden tanto choques como una estructura de solución suave y compleja, los esquemas WENO pueden proporcionar una mayor precisión que los esquemas de segundo orden junto con una buena resolución en torno a las discontinuidades. La mayoría de las aplicaciones tienden a utilizar un esquema WENO de precisión de quinto orden, mientras que se pueden utilizar esquemas de orden superior cuando el problema exige una mayor precisión en regiones suaves.
El método de discretización holística analiza sistemáticamente la dinámica de la escala de submallas para construir algebraicamente cierres para discretizaciones numéricas que sean precisas para cualquier orden de error especificado en regiones suaves y se adapten automáticamente para atender variaciones rápidas de la malla a través del aprendizaje algebraico de estructuras de submallas (Roberts 2003). Un servicio web analiza cualquier PDE en una clase que pueda enviarse.
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