Ley cero-uno de Hewitt-Savage

La ley cero-uno de Hewitt-Savage es un teorema de la teoría de la probabilidad , similar a la ley cero-uno de Kolmogorov y al lema de Borel-Cantelli , que especifica que un determinado tipo de evento ocurrirá casi con seguridad o casi con seguridad no ocurrirá. A veces se la conoce como la ley de Savage-Hewitt para eventos simétricos . Recibe su nombre en honor a Edwin Hewitt y Leonard Jimmie Savage . ^[1]

Declaración de la ley cero-uno de Hewitt-Savage

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que toman valores en un conjunto . La ley cero-uno de Hewitt-Savage dice que cualquier evento cuya ocurrencia o no ocurrencia esté determinada por los valores de estas variables aleatorias y cuya ocurrencia o no ocurrencia no cambie por permutaciones finitas de los índices, tiene probabilidad de 0 o 1 (una permutación "finita" es aquella que deja todos los índices excepto un número finito fijo). ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$

De manera un poco más abstracta, definamos el álgebra sigma intercambiable o álgebra sigma de eventos simétricos como el conjunto de eventos (dependiendo de la secuencia de variables ) que son invariantes bajo permutaciones finitas de los índices en la secuencia . Entonces . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {E}}\implies \mathbb {P} (A)\in \{0,1\}}$

Dado que cualquier permutación finita puede escribirse como un producto de transposiciones , si deseamos comprobar si un evento es simétrico (se encuentra en ), es suficiente comprobar si su ocurrencia no es inalterada por una transposición arbitraria , . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea la secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas valores en . Entonces el evento de que la serie converja (a un valor finito) es un evento simétrico en , ya que su ocurrencia no cambia bajo transposiciones (para un reordenamiento finito, la convergencia o divergencia de la serie -y, de hecho, el valor numérico de la suma misma- es independiente del orden en el que sumamos los términos). Por lo tanto, la serie converge casi con seguridad o diverge casi con seguridad. Si suponemos además que el valor esperado común (lo que esencialmente significa que debido a la no negatividad de las variables aleatorias), podemos concluir que ${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{n}]>0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{n}=0)<1}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}=+\infty \right)=1,}$

es decir, la serie diverge casi con seguridad. Esta es una aplicación particularmente simple de la ley cero-uno de Hewitt-Savage. En muchas situaciones, puede ser fácil aplicar la ley cero-uno de Hewitt-Savage para demostrar que algún evento tiene probabilidad 0 o 1, pero es sorprendentemente difícil determinar cuál de estos dos valores extremos es el correcto.

Ejemplo 2

Continuando con el ejemplo anterior, defina

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n},}$

que es la posición en el paso N de un paseo aleatorio con los incrementos iid X _n . El evento {  S _N  = 0 infinitamente a menudo } es invariante bajo permutaciones finitas. Por lo tanto, la ley cero-uno es aplicable y se infiere que la probabilidad de un paseo aleatorio con incrementos iid reales que visitan el origen infinitamente a menudo es uno o cero. Visitar el origen infinitamente a menudo es un evento de cola con respecto a la secuencia ( S _N ), pero S _N no son independientes y, por lo tanto, la ley cero-uno de Kolmogorov no es directamente aplicable aquí. ^[2]

Referencias

1. Hewitt, E. ; Savage, LJ (1955). "Medidas simétricas en productos cartesianos". Trans. Amer. Math. Soc . 80 : 470–501. doi : 10.1090/s0002-9947-1955-0076206-8 .
2. Este ejemplo es de Shiryaev, A. (1996). Probability Theory (Segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. pp. 381–82.