Teorema de Helmholtz (mecánica clásica)

Resultado similar a la termodinámica en la mecánica clásica

El teorema de Helmholtz de la mecánica clásica dice lo siguiente:

Sea el hamiltoniano de un sistema unidimensional, donde es la energía cinética y es un perfil de energía potencial en forma de "U" que depende de un parámetro . Sea el promedio temporal. $${\displaystyle H(x,p;V)=K(p)+\varphi (x;V)}$$ $${\displaystyle K={\frac {p^{2}}{2m}}}$$ $${\displaystyle \varphi (x;V)}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \right\rangle _{t}}$

• ${\displaystyle E=K+\varphi ,}$
• ${\displaystyle T=2\left\langle K\right\rangle _{t},}$
• ${\displaystyle P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t},}$
• ${\displaystyle S(E,V)=\log \oint {\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}\,dx.}$

Entonces $${\displaystyle dS={\frac {dE+PdV}{T}}.}$$

Observaciones

La tesis de este teorema de la mecánica clásica se lee exactamente como el teorema del calor de la termodinámica . Este hecho muestra que existen relaciones similares a las termodinámicas entre ciertas cantidades mecánicas. Esto a su vez permite definir el "estado termodinámico" de un sistema mecánico unidimensional. En particular, la temperatura está dada por el promedio temporal de la energía cinética, y la entropía por el logaritmo de la acción (es decir, ). La importancia de este teorema ha sido reconocida por Ludwig Boltzmann, quien vio cómo aplicarlo a sistemas macroscópicos (es decir, sistemas multidimensionales), con el fin de proporcionar una base mecánica de la termodinámica del equilibrio . Esta actividad de investigación estaba estrictamente relacionada con su formulación de la hipótesis ergódica . Una versión multidimensional del teorema de Helmholtz, basada en el teorema ergódico de George David Birkhoff, se conoce como el teorema de Helmholtz generalizado. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \oint dx{\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}}$

Versión generalizada

El teorema de Helmholtz generalizado es la generalización multidimensional del teorema de Helmholtz y se lee de la siguiente manera.

Dejar

${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},...,p_{s}),}$

${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},...,q_{s}),}$

sean las coordenadas canónicas de un sistema hamiltoniano de dimensión s , y sea

${\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)=K(\mathbf {p} )+\varphi (\mathbf {q} ;V)}$

sea ​​la función hamiltoniana , donde

${\displaystyle K=\sum _{i=1}^{s}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}}$,

es la energía cinética y

${\displaystyle \varphi (\mathbf {q} ;V)}$

es la energía potencial que depende de un parámetro . Sean las hipersuperficies de energía constante en el espacio de fases de 2 dimensiones s del sistema métricamente indescomponibles y denotemos como promedio temporal. Definamos las cantidades , , , , de la siguiente manera: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot \right\rangle _{t}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle E=K+\varphi }$,

${\displaystyle T={\frac {2}{s}}\left\langle K\right\rangle _{t}}$,

${\displaystyle P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t}}$,

${\displaystyle S(E,V)=\log \int _{H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)\leq E}d^{s}\mathbf {p} d^{s}\mathbf {q} .}$

Entonces:

${\displaystyle dS={\frac {dE+PdV}{T}}.}$

Referencias

• Helmholtz, H., von (1884a). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 97, 111-140 (también en Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (págs. 142-162, 179-202). Leipzig: Johann Ambrosio Barth).
• Helmholtz, H., von (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , I, 159-177 (también en Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (págs. 163-178). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
• Boltzmann, L. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und other damit verwandter Systeme. Crelles Journal , 98: 68–94 (también en Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (Vol. 3, págs. 122–152), F. Hasenöhrl (Ed.). Leipzig. Reeditado en Nueva York: Chelsea, 1969 ).
• Gallavotti, G. (1999). Mecánica estadística: Un breve tratado . Berlín: Springer.
• Campisi, M. (2005) Sobre los fundamentos mecánicos de la termodinámica: el teorema generalizado de Helmholtz Estudios de Historia y Filosofía de la Física Moderna 36: 275–290