Función máxima de Hardy-Littlewood

En matemáticas , el operador maximal de Hardy-Littlewood M es un operador no lineal significativo utilizado en el análisis real y el análisis armónico .

Definición

El operador toma una función localmente integrable f  : R ^d → C y devuelve otra función Mf . Para cualquier punto x ∈ R ^d , la función Mf devuelve el máximo de un conjunto de números reales, es decir, el conjunto de valores promedio de f para todas las bolas B ( x , r ) de cualquier radio r en x . Formalmente,

${\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|\,dy}$

donde | E | denota la medida de Lebesgue d -dimensional de un subconjunto E ⊂ R ^d .

Los promedios son conjuntamente continuos en x y r , por lo que la función máxima Mf , al ser la suprema sobre r  > 0, es medible . No es obvio que Mf sea finita casi en todas partes. Este es un corolario de la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood .

Desigualdad máxima de Hardy-Littlewood

Este teorema de GH Hardy y JE Littlewood establece que M está acotado como operador sublineal desde L ^p ( R ^d ) hasta sí mismo para p > 1. Es decir, si f ∈ L ^p ( R ^d ) entonces la función máxima Mf está débilmente acotada por L ¹ y Mf ∈ L ^p ( R ^d ). Antes de enunciar el teorema con más precisión, por simplicidad, sea { f > t } el conjunto { x | f ( x ) > t }. Ahora tenemos:

Teorema (estimación de tipo débil). Para d  ≥ 1, existe una constante C _d  > 0 tal que para todo λ > 0 y f  ∈  L ¹ ( R ^d ), tenemos:

${\displaystyle \left|\{Mf>\lambda \}\right|<{\frac {C_{d}}{\lambda }}\Vert f\Vert _{L^{1}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

Con la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood en la mano, la siguiente estimación de tipo fuerte es una consecuencia inmediata del teorema de interpolación de Marcinkiewicz :

Teorema (estimación de tipo fuerte). Para d  ≥ 1, 1 <  p  ≤ ∞ y f  ∈  L ^p ( R ^d ),

existe una constante C _p,d  > 0 tal que

${\displaystyle \Vert Mf\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

En la estimación de tipo fuerte se desconocen los mejores límites para C _p,d ^{. [1]} Sin embargo, posteriormente Elias M. Stein utilizó el método de rotaciones de Calderón-Zygmund para demostrar lo siguiente:

Teorema (Independencia de dimensión). Para 1 <  p  ≤ ∞ se puede elegir C _p,d = C _p independientemente de d . ^{[1] [2]}

Prueba

Si bien existen varias demostraciones de este teorema, a continuación se ofrece una de las más comunes: Para p  = ∞, la desigualdad es trivial (ya que el promedio de una función no es mayor que su supremo esencial ). Para 1 <  p  < ∞, primero utilizaremos la siguiente versión del lema de cobertura de Vitali para demostrar la estimación de tipo débil. (Véase el artículo para la demostración del lema).

Lema. Sea X un espacio métrico separable y una familia de bolas abiertas con diámetro acotado. Entonces tiene una subfamilia numerable que consiste en bolas disjuntas tales que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$

${\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subset \bigcup _{B\in {\mathcal {F'}}}5B}$

donde 5 B es B con 5 veces el radio.

Para cada x tal que Mf ( x ) > t , por definición, podemos encontrar una bola B _x centrada en x tal que

${\displaystyle \int _{B_{x}}|f|dy>t|B_{x}|.}$

Por lo tanto, { Mf > t } es un subconjunto de la unión de tales bolas, ya que x varía en { Mf > t }. Esto es trivial ya que x está contenido en B _x . Por el lema, podemos encontrar, entre tales bolas, una secuencia de bolas disjuntas B _j tal que la unión de 5 B _j cubra { Mf > t }. De esto se deduce:

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq 5^{d}\sum _{j}|B_{j}|\leq {5^{d} \over t}\int |f|dy.}$

Esto completa la prueba de la estimación de tipo débil. A continuación, deducimos de esto los límites de L ^p . Definimos b por b ( x ) = f ( x ) si | f ( x )| > t /2 y 0 en caso contrario. Por la estimación de tipo débil aplicada a b , tenemos:

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq {2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx,}$

con C = 5 ^d . Entonces

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}=\int \int _{0}^{Mf(x)}pt^{p-1}dtdx=p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}|\{Mf>t\}|dt}$

Según la estimación anterior tenemos:

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}\leq p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\left({2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx\right)dt=2Cp\int _{0}^{\infty }\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}t^{p-2}|f|dxdt=C_{p}\|f\|_{p}^{p}}$

donde la constante C _p depende únicamente de p y d . Esto completa la demostración del teorema.

Tenga en cuenta que la constante en la prueba se puede mejorar mediante el uso de la regularidad interna de la medida de Lebesgue y la versión finita del lema de recubrimiento de Vitali . Consulte la sección Discusión a continuación para obtener más información sobre la optimización de la constante. ${\displaystyle C=5^{d}}$ ${\displaystyle 3^{d}}$

Aplicaciones

Algunas aplicaciones de la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood incluyen demostrar los siguientes resultados:

• Teorema de diferenciación de Lebesgue
• Teorema de diferenciación de Rademacher
• Teorema de Fatou sobre convergencia no tangencial.
• Teorema de integración fraccionaria

Aquí usamos un truco estándar que involucra la función máxima para dar una prueba rápida del teorema de diferenciación de Lebesgue. (Pero recuerda que en la prueba del teorema máximo, usamos el lema de recubrimiento de Vitali). Sea f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) y

${\displaystyle \Omega f(x)=\limsup _{r\to 0}f_{r}(x)-\liminf _{r\to 0}f_{r}(x)}$

dónde

${\displaystyle f_{r}(x)={\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}f(y)dy.}$

Escribimos f = h + g donde h es continua y tiene soporte compacto y g ∈ L ¹ ( R ⁿ ) con norma que puede hacerse arbitrariamente pequeña. Entonces

${\displaystyle \Omega f\leq \Omega g+\Omega h=\Omega g}$

Por continuidad. Ahora bien, Ω g ≤ 2 Mg y por tanto, por el teorema, tenemos:

${\displaystyle \left|\{\Omega g>\varepsilon \}\right|\leq {\frac {2\,M}{\varepsilon }}\|g\|_{1}}$

Ahora, podemos dejar y concluir que Ω f = 0 casi en todas partes; es decir, existe para casi todos los x . Queda por demostrar que el límite en realidad es igual a f ( x ). Pero esto es fácil: se sabe que ( aproximación de la identidad ) y, por lo tanto, hay una subsucesión casi en todas partes. Por la unicidad del límite, f _r → f casi en todas partes entonces. ${\displaystyle \|g\|_{1}\to 0}$ ${\displaystyle \lim _{r\to 0}f_{r}(x)}$ ${\displaystyle \|f_{r}-f\|_{1}\to 0}$ ${\displaystyle f_{r_{k}}\to f}$

Discusión

Todavía se desconoce cuáles son las constantes más pequeñas C _p,d y C _d en las desigualdades anteriores. Sin embargo, se puede utilizar  un resultado de Elias Stein sobre funciones esféricas maximalistas para demostrar que, para 1 < p  < ∞, podemos eliminar la dependencia de C _p,d de la dimensión, es decir, C _p,d  =  C _p para alguna constante C _p  > 0 que solo depende de p . Se desconoce si existe un límite débil que sea independiente de la dimensión.

Existen varias variantes comunes del operador máximo de Hardy-Littlewood que reemplazan los promedios sobre bolas centradas con promedios sobre diferentes familias de conjuntos. Por ejemplo, se puede definir el operador máximo HL no centrado (usando la notación de Stein-Shakarchi)

${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{x\in B_{x}}{\frac {1}{|B_{x}|}}\int _{B_{x}}|f(y)|dy}$

donde se requiere que las bolas B _x simplemente contengan x, en lugar de estar centradas en x. También existe el operador máximo diádico HL

${\displaystyle M_{\Delta }f(x)=\sup _{x\in Q_{x}}{\frac {1}{|Q_{x}|}}\int _{Q_{x}}|f(y)|dy}$

donde Q _x abarca todos los cubos diádicos que contienen el punto x . Ambos operadores satisfacen la desigualdad máxima HL.

Véase también

• Lema del sol naciente

Referencias

1. Tao, Terence. "Teorema de máxima esfera de Stein". Novedades . Consultado el 22 de mayo de 2011 .
2. Stein, EM (1982). "El desarrollo de funciones cuadradas en el trabajo de A. Zygmund". Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 7 (2): 359–376. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15040-6 .

• John B. Garnett , Funciones analíticas acotadas . Springer-Verlag, 2006
• GH Hardy y JE Littlewood. Un teorema máximo con aplicaciones en la teoría de funciones . Acta Math. 54, 81–116 (1930). [1]
• Antonios D. Melas, La mejor constante para la desigualdad máxima centrada de Hardy-Littlewood , Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688
• Rami Shakarchi y Elias M. Stein , Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis , Princeton University Press, 2005
• Elias M. Stein, Funciones máximas: medias esféricas , Proc. Natl. Acad. Sci. USA 73 (1976), 2174–2175
• Elias M. Stein, Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones . Princeton University Press, 1971
• Gerald Teschl , Temas de análisis real y funcional (apuntes de clase)