Cubos diádicos

Partición hipercúbica del espacio euclidiano

En matemáticas , los cubos diádicos son una colección de cubos en R ⁿ de diferentes tamaños o escalas de modo que el conjunto de cubos de cada partición de escala R ⁿ y cada cubo en una escala puede escribirse como una unión de cubos de una escala más pequeña. Estos se utilizan con frecuencia en matemáticas (particularmente en análisis armónico ) como una forma de discretizar objetos para facilitar los cálculos o el análisis. Por ejemplo, para estudiar un subconjunto arbitrario de A del espacio euclidiano , uno puede reemplazarlo por una unión de cubos diádicos de un tamaño particular que cubra el conjunto. Uno puede considerar este conjunto como una versión pixelada del conjunto original, y a medida que se utilizan cubos más pequeños se obtiene una imagen más clara del conjunto A. Las apariciones más notables de los cubos diádicos incluyen el teorema de extensión de Whitney y el lema de Calderón-Zygmund .

Cubos diádicos en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano, los cubos diádicos se pueden construir de la siguiente manera: para cada entero k, sea Δ _k el conjunto de cubos en R ⁿ de lado 2 ^{− k} y vértices en el conjunto

${\displaystyle 2^{-k}\mathbf {Z} ^{n}=\left\{2^{-k}(v_{1},\dots ,v_{n}):v_{j}\in \mathbf {Z} \right\}}$

y sea Δ la unión de todos los Δ _k .

Las características más importantes de estos cubos son las siguientes:

1. Para cada entero k , Δ _k particiona R ⁿ .
2. Todos los cubos en Δ _k tienen la misma longitud lateral, es decir, 2 ^{− k} .
3. Si los interiores de dos cubos Q y R en Δ tienen intersección no vacía, entonces Q está contenido en R o R está contenido en Q.
4. Cada Q en Δ _k puede escribirse como una unión de 2 ⁿ cubos en Δ _{k +1} con interiores disjuntos.

Usamos la palabra "partición" con cierta ligereza: aunque su unión es toda de R ⁿ , los cubos en Δ _k pueden superponerse en sus límites. Sin embargo, estas superposiciones tienen una medida de Lebesgue cero , por lo que en la mayoría de las aplicaciones esta forma ligeramente más débil de partición no es un impedimento.

También puede parecer extraño que un valor mayor de k corresponda a cubos más pequeños. Se puede pensar en k como el grado de aumento. En la práctica, sin embargo, dejar que Δ _k sea el conjunto de cubos de lado 2 ^k o 2 ^{− k} es una cuestión de preferencia o conveniencia.

El truco del tercio

Una desventaja de los cubos diádicos en el espacio euclidiano es que dependen demasiado de la posición específica de los cubos. Por ejemplo, para los cubos diádicos Δ descritos anteriormente, no es posible contener una bola arbitraria dentro de algún Q en Δ (consideremos, por ejemplo, la bola unitaria centrada en cero). Alternativamente, puede haber un cubo que contenga la bola, pero los tamaños de la bola y el cubo son muy diferentes. Debido a esta salvedad, a veces es útil trabajar con dos o más colecciones de cubos diádicos simultáneamente.

Definición

El siguiente es el truco conocido como el truco del tercio : ^[1]

Sean Δ _k los cubos diádicos de escala k como se indica arriba. Definir

${\displaystyle \Delta _{k}^{\alpha }=\{Q+\alpha :Q\in \Delta _{k}\}.}$

Este es el conjunto de cubos diádicos en Δ _k traducidos por el vector α. Para cada uno de estos α, sea Δ ^α la unión de Δ _k ^α sobre k .

• Existe una constante universal C  > 0 tal que para cualquier bola B con radio r  < 1/3, existe α en {0,1/3} ⁿ y un cubo Q en Δ ^α que contiene a B cuyo diámetro no es mayor que Cr .
• De manera más general, si B es una bola con cualquier radio r  > 0, hay α en {0, 1/3, 4/3, 4 ² /3, ...} ⁿ y un cubo Q en Δ ^α que contiene a B cuyo diámetro no es mayor que Cr .

Una aplicación de ejemplo

El atractivo del truco del tercio es que uno puede demostrar primero versiones diádicas de un teorema y luego deducir teoremas "no diádicos" a partir de ellas. Por ejemplo, recordemos la función máxima de Hardy-Littlewood

${\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dy}$

donde f es una función localmente integrable y | B ( x ,  r )| denota la medida de la pelota B ( x ,  r ). La desigualdad máxima de Hardy-Littlewood establece que para una función integrable f ,

${\displaystyle \left|\{x\in \mathbf {R} ^{n}:Mf(x)>\lambda \}\right|\leq {\frac {C_{n}}{\lambda }}\|f\|_{1}}$

para λ > 0 donde C _n es una constante que depende únicamente de la dimensión.

Este teorema se suele demostrar utilizando el lema de cobertura de Vitali . Sin embargo, se puede evitar el uso de este lema demostrando primero la desigualdad anterior para las funciones máximas diádicas.

${\displaystyle M_{\Delta ^{\alpha }}f(x)=\sup _{x\in Q\in \Delta ^{\alpha }}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|f(x)|dx.}$

La prueba es similar a la del teorema original, pero las propiedades de los cubos diádicos nos libran de la necesidad de utilizar el lema de recubrimiento de Vitali. Podemos entonces deducir la desigualdad original utilizando el truco del tercio.

Cubos diádicos en espacios métricos

Se pueden construir análogos de cubos diádicos en algunos espacios métricos . ^[2] En particular, sea X un espacio métrico con métrica d que admita una medida de duplicación μ, es decir, una medida tal que para x ∈ X y r  > 0, se tiene:

${\displaystyle \mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))}$

donde C > 0 es una constante universal independiente de la elección de x y r .

Si X admite tal medida, entonces existen colecciones de conjuntos Δ _k tales que ellos (y su unión Δ) satisfacen lo siguiente:

• Para cada entero k , Δ _k particiona X , en el sentido de que

${\displaystyle \mu \left(X\backslash \bigcup \nolimits _{Q\in \Delta _{k}}Q\right)=0.}$

• Todos los conjuntos Q en Δ _k tienen aproximadamente el mismo tamaño. Más específicamente, cada uno de estos Q tiene un centro z _Q tal que

${\displaystyle B(z_{Q},c_{1}\delta ^{k})\subseteq Q\subseteq B(z_{Q},c_{2}\delta ^{k})}$

donde c ₁ ,  c ₂ y δ son constantes positivas que dependen únicamente de la constante de duplicación C de la medida μ e independientes de Q .

• Cada Q en Δ _k está contenido en un conjunto único R en Δ _{k −1} .
• Hay constantes constante C ₃ , η > 0 que dependen sólo de μ tales que para todo k y t  > 0,

${\displaystyle \mu \left(\left\{x\in Q:d(x,X\backslash Q)\leq t\delta ^{k}\right\}\right)\leq C_{3}t^{\eta }\mu (Q).}$

Estas condiciones son muy similares a las propiedades de los cubos euclidianos habituales descritos anteriormente. La última condición dice que el área cerca del límite de un "cubo" Q en Δ es pequeña, lo cual es una propiedad que se da por sentada en el caso euclidiano, aunque es muy importante para extender los resultados del análisis armónico al entorno del espacio métrico.

Véase también

• Árbol cuaternario
• Transformada wavelet

Referencias

1. Okikiolu, Kate (1992). "Caracterización de subconjuntos de curvas rectificables en R ⁿ ". J. London Math. Soc . Serie 2. 46 (2): 336–348.
2. Christ, Michael (1990). "Teorema AT(b) con observaciones sobre la capacidad analítica y la integral de Cauchy". Colloq. Math . 60/61 (2): 601–628.