El grupo universal de Hall

En álgebra , el grupo universal de Hall es un grupo localmente finito contable , digamos U , que se caracteriza únicamente por las siguientes propiedades.

• Todo grupo finito G admite un monomorfismo en U.
• Todos estos monomorfismos son conjugados por automorfismos internos de U.

Fue definido por Philip Hall en 1959, ^[1] y tiene la propiedad universal de que todos los grupos localmente finitos contables se integran en él.

El grupo universal de Hall es el límite de Fraïssé de la clase de todos los grupos finitos.

Construcción

Tómese cualquier grupo de orden . Denote por el grupo de permutaciones de elementos de , por el grupo ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \geq 3}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle S_{\Gamma _{0}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}}$

${\displaystyle S_{\Gamma _{1}}=S_{S_{\Gamma _{0}}}\,}$

y así sucesivamente. Dado que un grupo actúa fielmente sobre sí mismo mediante permutaciones

${\displaystyle x\mapsto gx\,}$

Según el teorema de Cayley , esto da una cadena de monomorfismos.

${\displaystyle \Gamma _{0}\hookrightarrow \Gamma _{1}\hookrightarrow \Gamma _{2}\hookrightarrow \cdots .\,}$

Un límite directo (es decir, una unión) de todos es el grupo universal de Hall U . ${\displaystyle \Gamma _{i}}$

De hecho, U contiene entonces un grupo simétrico de orden arbitrariamente grande, y cualquier grupo admite un monomorfismo en un grupo de permutaciones , como se explicó anteriormente. Sea G un grupo finito que admite dos incrustaciones en U . Como U es un límite directo y G es finito, las imágenes de estas dos incrustaciones pertenecen a . El grupo actúa sobre mediante permutaciones y conjuga todas las incrustaciones posibles . ^[1] ${\displaystyle \Gamma _{i}\subset U}$ ${\displaystyle \Gamma _{i+1}=S_{\Gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle G\hookrightarrow \Gamma _{i}}$

Referencias

1. Hall, P. Algunas construcciones para grupos localmente finitos. J. London Math. Soc. 34 (1959) 305--319. MR 162845