Función gamma de Hadamard

Extensión de la función factorial

Función gamma de Hadamard representada sobre una parte del eje real. A diferencia de la función gamma clásica, es holomorfa; no tiene polos.

En matemáticas , la función gamma de Hadamard , llamada así por Jacques Hadamard , es una extensión de la función factorial , distinta de la función gamma clásica (es una instancia de una función pseudogamma ). Esta función, con su argumento desplazado hacia abajo en 1, interpola el factorial y lo extiende a números reales y complejos de una manera diferente a la función gamma de Euler. Se define como:

${\displaystyle H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {d}{dx}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\},}$

donde Γ( x ) denota la función gamma clásica. Si n es un entero positivo, entonces:

${\displaystyle H(n)=\Gamma (n)=(n-1)!}$

Propiedades

A diferencia de la función gamma clásica, la función gamma de Hadamard H ( x ) es una función entera , es decir, no tiene polos en su dominio. Satisface la ecuación funcional

${\displaystyle H(x+1)=xH(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}},}$

con el entendimiento de que se toma como 0 para valores enteros positivos de x . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Gamma (1-x)}}}$

Representaciones

La gamma de Hadamard también se puede expresar como

${\displaystyle H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\Gamma (1-x)}}={\frac {\Phi \left(-1,1,-x\right)}{\Gamma (-x)}}}$

¿Dónde está la función zeta de Lerch , y como ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],}$

donde ψ ( x ) denota la función digamma .

Véase también

• Función gamma
• Función pseudogamma

Referencias

• Hadamard, MJ (1894), Sur L'Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF) (en francés), Œuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Científicos, París, 1968
• Srivastava, HM; Junesang, Choi (2012). Funciones zeta y q-zeta y series e integrales asociadas . Elsevier insights. p. 124. ISBN 978-0-12-385218-2.
• "Introducción a la función gamma". El sitio de funciones Wolfram . Wolfram Research, Inc. Recuperado el 27 de febrero de 2016 .