Extensión HNN

Construcción de la teoría combinatoria de grupos.

En matemáticas , la extensión HNN es una construcción importante de la teoría combinatoria de grupos .

Introducido en un artículo de 1949 Teoremas de incrustación para grupos ^[1] por Graham Higman , Bernhard Neumann y Hanna Neumann , incrusta un grupo dado G en otro grupo G' , de tal manera que dos subgrupos isomórficos dados de G son conjugados (a través de un isomorfismo dado) en G' .

Construcción

Sea G un grupo con presentación y sea un isomorfismo entre dos subgrupos de G . Sea t un nuevo símbolo que no esté en S y defina ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \alpha \colon H\to K}$

${\displaystyle G*_{\alpha }=\left\langle S,t\mid R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in H\right\rangle .}$

El grupo se llama extensión HNN de G con respecto a α. El grupo original G se denomina grupo base para la construcción, mientras que los subgrupos H y K son los subgrupos asociados . El nuevo generador t se llama letra estable . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Propiedades clave

Dado que la presentación para contiene todos los generadores y relaciones de la presentación para G , existe un homomorfismo natural, inducido por la identificación de los generadores, que lleva a G a . Higman, Neumann y Neumann demostraron que este morfismo es inyectivo, es decir, una incrustación de G en . Una consecuencia es que dos subgrupos isomórficos de un grupo dado siempre están conjugados en algún sobregrupo ; El deseo de mostrar esto fue la motivación original para la construcción. ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Lema de Britton

Una propiedad clave de las extensiones HNN es un teorema de forma normal conocido como lema de Britton . ^[2] Sea como arriba y sea w el siguiente producto en : ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1.}$

Entonces el lema de Britton se puede enunciar de la siguiente manera:

Lema de Britton. Si w = 1 en G ∗ _α entonces

• cualquiera y g ₀ = 1 en G ${\displaystyle n=0}$
• o y para algunos i ∈ {1, ..., n −1} se cumple uno de los siguientes: ${\displaystyle n>0}$

1. ε _yo = 1, ε _{yo +1} = −1, gramo _yo ∈ H ,
2. ε _yo = −1, ε _{yo +1} = 1, gramo _yo ∈ K .

En términos contrapositivos, el Lema de Britton toma la siguiente forma:

Lema de Britton (forma alternativa). Si w es tal que

• cualquiera y g ₀ ≠ 1 ∈ G , ${\displaystyle n=0}$
• o y el producto w no contiene subcadenas de la forma tht ⁻¹ , donde h ∈ H y de la forma t ⁻¹ kt donde k ∈ K , ${\displaystyle n>0}$

luego en . ${\displaystyle w\neq 1}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Consecuencias del lema de Britton

La mayoría de las propiedades básicas de las extensiones HNN se derivan del lema de Britton. Estas consecuencias incluyen los siguientes hechos:

• El homomorfismo natural de G a es inyectivo, por lo que podemos pensar que contiene a G como un subgrupo . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Todo elemento de orden finito en está conjugado con un elemento de G. ${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Cada subgrupo finito de está conjugado con un subgrupo finito de G . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Si contiene un elemento tal que no está contenido en ni ni para ningún número entero , entonces contiene un subgrupo isomorfo a un grupo libre de rango dos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{k}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Aplicaciones y generalizaciones

Aplicada a la topología algebraica , la extensión HNN construye el grupo fundamental de un espacio topológico X que ha sido "pegado" sobre sí mismo mediante una aplicación f: X → X (ver, por ejemplo, Paquete de superficie sobre el círculo ). Así, las extensiones HNN describen el grupo fundamental de un espacio autoadherido de la misma manera que los productos libres con amalgama lo hacen para dos espacios X e Y pegados a lo largo de un subespacio común conectado, como en el teorema de Seifert-van Kampen . Estas dos construcciones permiten describir el grupo fundamental de cualquier encolado geométrico razonable. Esto se generaliza en la teoría de Bass-Serre de grupos que actúan sobre árboles, construyendo grupos fundamentales de gráficos de grupos . ^[3]

Las extensiones HNN juegan un papel clave en la prueba de Higman del teorema de incrustación de Higman , que establece que todo grupo presentado de forma recursiva generado finitamente puede incrustarse homomórficamente en un grupo presentado finitamente . La mayoría de las pruebas modernas del teorema de Novikov-Boone sobre la existencia de un grupo presentado finitamente con un problema verbal algorítmicamente indecidible también utilizan sustancialmente extensiones HNN.

La idea de extensión HNN se ha extendido a otras partes del álgebra abstracta , incluida la teoría del álgebra de Lie .

Ver también

• Extensión de grupo

Referencias

1. Higman, Graham ; Neumann, Bernhard H .; Neumann, Hanna (1949). "Incorporación de teoremas para grupos". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . T1-24 (4): 247–254. doi :10.1112/jlms/s1-24.4.247.
2. Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp . Teoría combinatoria de grupos. Springer-Verlag, Nueva York, 2001. Serie "Classics in Mathematics", reimpresión de la edición de 1977. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Cap. IV. Productos gratuitos y extensiones HNN. 
3. Serre, Jean-Pierre (1980), Árboles. Traducido del francés por John Stillwell , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9