Grupo de trenzas esféricas

Grupo Braid generalizado en la esfera

En matemáticas , el grupo trenzado esférico o grupo trenzado de Hurwitz es un grupo trenzado sobre n hebras. En comparación con el grupo trenzado habitual, tiene una relación de grupo adicional que proviene de que las hebras están sobre la esfera . El grupo también tiene relaciones con el problema inverso de Galois . ^[1]

Definición

El grupo de trenzas esféricas sobre n hilos, denotado o , se define como el grupo fundamental del espacio de configuración de la esfera: ^{[2] [3]} El grupo de trenzas esféricas tiene una presentación en términos de generadores con las siguientes relaciones: ^[4] ${\displaystyle SB_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}(S^{2})}$ $${\displaystyle B_{n}(S^{2})=\pi _{1}(\mathrm {Conf} _{n}(S^{2})).}$$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n-1}}$

• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$para ${\displaystyle |i-j|\geq 2}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$para (la ecuación de Yang-Baxter ) ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$
• ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{n-1}\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\cdots \sigma _{1}=1}$

La última relación distingue al grupo del grupo trenzado habitual.

Referencias

1. Ihara, Yasutaka (2007), Cartier, Pierre; Katz, Nicholas M.; Manin, Yuri I.; Illusie, Luc (eds.), "Automorfismos de grupos de trenzas de esferas puras y representaciones de Galois", The Grothendieck Festschrift: A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser, pp. 353–373, doi :10.1007/978-0-8176-4575-5_8, ISBN 978-0-8176-4575-5, consultado el 24 de noviembre de 2023
2. Chen, Lei; Salter, Nick (2020). "Problemas de sección para configuraciones de puntos en la esfera de Riemann". Topología algebraica y geométrica . 20 (6): 3047–3082. arXiv : 1807.10171 . doi :10.2140/agt.2020.20.3047. S2CID  119669926.
3. Fadell, Edward; Buskirk, James Van (1962). "Los grupos trenzados de E2 y S2". Duke Mathematical Journal . 29 (2): 243–257. doi :10.1215/S0012-7094-62-02925-3.
4. Klassen, Eric P.; Kopeliovich, Yaacov (2004). "Espacios de Hurwitz y representaciones de grupos trenzados". Rocky Mountain Journal of Mathematics . 34 (3): 1005–1030. doi : 10.1216/rmjm/1181069840 .