Matriz de Grunsky

Matriz utilizada en análisis complejo

En el análisis complejo y la teoría de funciones geométricas , las matrices de Grunsky , u operadores de Grunsky , son matrices infinitas introducidas en 1939 por Helmut Grunsky . Las matrices corresponden a una sola función holomorfa en el disco unitario o a un par de funciones holomorfas en el disco unitario y su complemento. Las desigualdades de Grunsky expresan propiedades de acotación de estas matrices, que en general son operadores de contracción o en casos especiales importantes operadores unitarios . Como mostró Grunsky, estas desigualdades se cumplen si y solo si la función holomorfa es univalente . Las desigualdades son equivalentes a las desigualdades de Goluzin, descubiertas en 1947. En términos generales, las desigualdades de Grunsky brindan información sobre los coeficientes del logaritmo de una función univalente; Las generalizaciones posteriores de Milin , a partir de la desigualdad de Lebedev-Milin , lograron exponenciar las desigualdades para obtener desigualdades para los coeficientes de la propia función univalente. La matriz de Grunsky y sus desigualdades asociadas se formularon originalmente en un contexto más general de funciones univalentes entre una región limitada por un número finito de curvas de Jordan suficientemente suaves y su complemento: los resultados de Grunsky, Goluzin y Milin se generalizan a ese caso.

Históricamente, las desigualdades para el disco se utilizaron para demostrar casos especiales de la conjetura de Bieberbach hasta el sexto coeficiente; las desigualdades exponenciales de Milin fueron utilizadas por de Branges en la solución final. Una exposición detallada utilizando estos métodos se puede encontrar en Hayman (1994). Los operadores de Grunsky y sus determinantes de Fredholm también están relacionados con las propiedades espectrales de los dominios acotados en el plano complejo . Los operadores tienen otras aplicaciones en la aplicación conforme , la teoría de Teichmüller y la teoría conforme de campos .

Matriz de Grunsky

Si f ( z ) es una función univalente holomórfica en el disco unitario, normalizada de modo que f (0) = 0 y f′ (0) = 1, la función

${\displaystyle g(z)=f(z^{-1})^{-1}}$

es una función univalente no nula en | z | > 1 que tiene un polo simple en ∞ con residuo 1:

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

La misma fórmula de inversión aplicada a g devuelve f y establece una correspondencia uno a uno entre estas dos clases de funciones.

La matriz de Grunsky ( c _nm ) de g está definida por la ecuación

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-g(\zeta )}{z-\zeta }}=-\sum _{m,n>0}c_{nm}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

Es una matriz simétrica . Sus entradas se denominan coeficientes de Grunsky de g .

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \log {g(z^{-1})-g(\zeta ^{-1}) \over z^{-1}-\zeta ^{-1}}=\log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }-\log {f(z) \over z}-\log {f(\zeta ) \over \zeta },}$

de modo que los coeficientes se pueden expresar directamente en términos de f . De hecho, si

${\displaystyle \log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 0}d_{mn}z^{n}\zeta ^{n},}$

entonces para m , n > 0

${\displaystyle d_{mn}=c_{mn}}$

y d _{0 n} = d _{n 0} se da por

${\displaystyle \log {\frac {f(z)}{z}}=\sum _{n>0}d_{0n}z^{n}}$

con

${\displaystyle d_{00}=0.}$

Desigualdades de Grunsky

Si f es una función holomorfa en el disco unitario con matriz de Grunsky ( c _nm ), las desigualdades de Grunsky establecen que

${\displaystyle \left|\sum _{1\leq m,n\leq N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{1\leq n\leq N}{\frac {|\lambda _{n}|^{2}}{n}}}$

para cualquier secuencia finita de números complejos λ ₁ , ..., λ _N .

Polinomios de Faber

Coeficientes de Grunsky de una función univalente normalizada en | z | > 1

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

son polinomios en los coeficientes b _i que pueden calcularse recursivamente en términos de los polinomios de Faber Φ _n , un polinomio mónico de grado n que depende de g .

Tomando la derivada en z de la relación definitoria de los coeficientes de Grunsky y multiplicando por z se obtiene

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-g(\zeta )}}-{\frac {z}{z-\zeta }}=\sum _{m,n>0}mc_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}.}$

Los polinomios de Faber se definen por la relación

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-w}}=\sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

Dividiendo esta relación por z e integrando entre z e ∞ se obtiene

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-w}{z}}=-\sum _{n\geq 1}{1 \over n}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

Esto da las relaciones de recurrencia para n > 0

${\displaystyle \Phi _{n}(w)=(w-b_{0})\Phi _{n-1}(w)-nb_{n}-\sum _{0\leq i\leq n-1}b_{n-i}\Phi _{i}(w)}$

con

${\displaystyle \Phi _{0}(w)\equiv 1.}$

De este modo

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(g(z))\zeta ^{-n}=1+\sum _{n\geq 1}\left(z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}\right)\zeta ^{-n},}$

de modo que para n ≥ 1

${\displaystyle \Phi _{n}(g(z))=z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}.}$

La última propiedad determina de forma única el polinomio de Faber de g .

Teorema del área de Milin

Sea g ( z ) una función univalente en | z | > 1 normalizada de modo que

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

y sea f ( z ) una función holomorfa no constante en C .

Si

${\displaystyle f(g(z))=\sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}}$

es la expansión de Laurent en z > 1, entonces

${\displaystyle \sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}.}$

Prueba

Si Ω es una región abierta acotada con un borde suave ∂Ω y h es una función diferenciable en Ω que se extiende a una función continua en el cierre, entonces, por el teorema de Stokes aplicado a la 1-forma diferencial ${\displaystyle \omega =h(z)dz,}$

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }h(z)\,dz=\int _{\partial \Omega }\omega =\iint _{\Omega }d\omega =\iint _{\Omega }(i\partial _{x}-\partial _{y})h\,dx\,dy=2i\iint _{\Omega }\partial _{\overline {z}}h\,dx\,dy.}$

Para r > 1, sea Ω _r el complemento de la imagen de | z |> r bajo g ( z ), un dominio acotado. Entonces, por la identidad anterior con h = f′ , el área de f (Ω _r ) está dada por

${\displaystyle A(r)=\iint _{\Omega _{r}}|f'(z)|^{2}\,dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial \Omega _{r}}{\overline {f(z)}}f'(z)\,dz={1 \over 2i}\int _{|w|=r}{\overline {f(g(w)))}}f'(g(w))g'(w)\,dw.}$

Por eso

${\displaystyle A(r)=\pi \sum _{n}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.}$

Dado que el área no es negativa

${\displaystyle \sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}r^{-2n}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.}$

El resultado se obtiene al dejar que r disminuya a 1.

Prueba de Milin de las desigualdades de Grunsky

Si

${\displaystyle p(w)=\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}\Phi _{n}(w),}$

entonces

${\displaystyle p(g(z))=\left(\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}z^{n}\right)+\left(\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}c_{nm}z^{-m}\right).}$

Aplicando el teorema del área de Milin,

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

(La igualdad se cumple aquí si y sólo si el complemento de la imagen de g tiene medida de Lebesgue cero.)

Así que a fortiori

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

De ahí la matriz simétrica

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {mn}}c_{mn},}$

considerado como un operador en C ^N con su producto interno estándar, satisface

${\displaystyle \|Ax\|\leq \|x\|.}$

Así pues, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

${\displaystyle |(Ax,y)|\leq \|x\|\cdot \|y\|.}$

Con

${\displaystyle x_{n}={\frac {\lambda _{n}}{\sqrt {n}}}={\overline {y_{n}}},}$

Esto da la desigualdad de Grunsky:

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2},}$

Criterio de univalencia

Sea g ( z ) una función holomorfa en z > 1 con

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

Entonces g es univalente si y sólo si los coeficientes de Grunsky de g satisfacen las desigualdades de Grunsky para todo N.

De hecho, ya se ha demostrado que las condiciones son necesarias. Para comprobar su suficiencia, nótese que

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

tiene sentido cuando | z | y | ζ | son grandes y por lo tanto los coeficientes c _mn están definidos. Si se satisfacen las desigualdades de Grunsky, entonces es fácil ver que las | c _mn | están uniformemente acotadas y por lo tanto la expansión en el lado izquierdo converge para | z | > 1 y | ζ | > 1. Exponenciando ambos lados, esto implica que g es univalente.

Pares de funciones univalentes

Sean y funciones holomorfas univalentes en | z | < 1 y | ζ | > 1, tales que sus imágenes son disjuntas en C . Supóngase que estas funciones están normalizadas de modo que ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle g(\zeta )}$

${\displaystyle g(\zeta )=\zeta +a_{0}+b_{1}\zeta ^{-1}+b_{2}\zeta ^{-2}+\cdots }$

y

${\displaystyle F(z)=af(z)}$

con un ≠ 0 y

${\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots .}$

La matriz de Grunsky ( c _mn ) de este par de funciones está definida para todos los m y n distintos de cero mediante las fórmulas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {g(\zeta )-g(\eta ) \over \zeta -\eta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}\zeta ^{-m}\eta ^{-n}\\\log {g(\zeta )-f(z) \over \zeta }-\log {g(\zeta ) \over \zeta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,n}z^{m}\zeta ^{-n}\\\log {f(z)-f(w) \over z-w}-\log {f(z) \over z}-\log {f(w) \over w}&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,-n}z^{m}w^{n}\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle c_{m,-n}=c_{-n,m},\qquad m,n\geq 1,}$

de modo que ( c _mn ) es una matriz simétrica.

En 1972, el matemático estadounidense James Hummel extendió las desigualdades de Grunsky a esta matriz, demostrando que para cualquier secuencia de números complejos λ _±1 , ..., λ _{± N}

${\displaystyle \left|\sum _{n,m\neq 0}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{|n|}}|\lambda _{n}|^{2}.}$

La prueba se realiza calculando el área de la imagen del complemento de las imágenes de | z | < r < 1 bajo F y | ζ | > R > 1 bajo g bajo un polinomio de Laurent adecuado h ( w ).

Sean y los polinomios de Faber de g y y el conjunto ${\displaystyle \phi _{n}}$ ${\displaystyle \phi _{-n}}$ ${\displaystyle f(z^{-1})^{-1}}$

${\displaystyle h(w)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\Phi _{n}(w)+\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}\Phi _{-n}\left({\frac {a}{w}}\right).}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(F(z))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}z^{-n}+\alpha +\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}z^{n},&&|z|<1,\alpha _{n}=\sum _{m}c_{-n,m}\lambda _{m}\\h(g(\zeta ))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\zeta ^{n}+\beta +\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\zeta ^{-n},&&|\zeta |>1,\beta _{n}=\sum _{m}c_{nm}\lambda _{m}\end{aligned}}}$

El área es igual

${\displaystyle \int |h'(z)|^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2i}}\int _{C_{1}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz-{\frac {1}{2i}}\int _{C_{2}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz,}$

donde C ₁ es la imagen del círculo |ζ| = R bajo g y C ₂ es la imagen del círculo | z | = r bajo F .

Por eso

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\iint |h'|^{2}\,dx\,dy=\left[\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}|\lambda _{-n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\alpha _{n}|^{2}r^{2n}\right]+\left[\sum _{n\geq 1}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\beta _{n}|^{2}R^{-2n}\right].}$

Como el área es positiva, el lado derecho también debe ser positivo. Si r aumenta a 1 y R disminuye a 1 , se deduce que

${\displaystyle \sum _{m\neq 0}|m|\left|\sum _{n\neq 0}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{m\neq 0}{1 \over |m|}|\lambda _{m}|^{2}}$

con igualdad si y sólo si el complemento de las imágenes tiene medida de Lebesgue cero.

Como en el caso de una sola función g , esto implica la desigualdad requerida.

Unitaridad

La matriz

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {|mn|}}\cdot c_{mn}}$

de una sola función g o de un par de funciones F , g es unitaria si y sólo si el complemento de la imagen de g o la unión de las imágenes de F y g tiene medida de Lebesgue cero. Así, en términos generales, en el caso de una función la imagen es una región de rendija en el plano complejo; y en el caso de dos funciones las dos regiones están separadas por una curva de Jordan cerrada.

De hecho, la matriz infinita A que actúa sobre el espacio de Hilbert de secuencias cuadradas sumables satisface

${\displaystyle A^{*}A=I,}$

Pero si J denota la conjugación compleja de una secuencia, entonces

${\displaystyle JAJ=A^{*},\quad JA^{*}J=A}$

ya que A es simétrico. Por lo tanto

${\displaystyle AA^{*}=JA^{*}AJ=I}$

de modo que A es unitario.

Formas equivalentes de las desigualdades de Grunsky

Desigualdades de Goluzin

Si g ( z ) es una función univalente normalizada en | z | > 1, z ₁ , ..., z _N son puntos distintos con | z _n | > 1 y α ₁ , ..., α _N son números complejos, las desigualdades de Goluzin, demostradas en 1947 por el matemático ruso Gennadi Mikhailovich Goluzin (1906-1953), establecen que

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\log {g(z_{m})-g(z_{n}) \over z_{m}-z_{n}}\right|^{2}\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}\log {1 \over 1-(z_{m}{\overline {z_{n}}})^{-1}}.}$

Para deducirlas de las desigualdades de Grunsky, sea

${\displaystyle \lambda _{k}=\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{-k}.}$

para k > 0.

Por el contrario, las desigualdades de Grunsky se derivan de las desigualdades de Goluzin tomando

${\displaystyle \alpha _{m}={1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}z_{n}^{m}.}$

dónde

${\displaystyle z_{n}=re^{2\pi in \over N}}$

con r > 1, tendiendo a ∞.

Desigualdades de Bergman-Schiffer

Bergman y Schiffer (1951) dieron otra derivación de las desigualdades de Grunsky usando núcleos de reproducción y operadores integrales singulares en la teoría de funciones geométricas ; un enfoque relacionado más reciente se puede encontrar en Baranov y Hedenmalm (2008).

Sea f ( z ) una función univalente normalizada en | z | < 1, sean z ₁ , ..., z _N puntos distintos con | z _n | < 1 y sean α ₁ , ..., α _N números complejos. Las desigualdades de Bergman-Schiffer establecen que

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\left[{\frac {f'(z_{m})f'(z_{n})}{(f(z_{m})-f(z_{n}))^{2}}}-{\frac {1}{(z_{m}-z_{n})^{2}}}\right]\right|\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}{\frac {1}{(1-z_{m}{\overline {z_{n}}})^{2}}}.}$

Para deducir estas desigualdades a partir de las desigualdades de Grunsky, establezca

${\displaystyle \lambda _{k}=k\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{k}.}$

para k > 0.

Por el contrario, las desigualdades de Grunsky se derivan de las desigualdades de Bergman-Schiffer al tomar

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\lambda _{n}z_{n}^{m}.}$

dónde

${\displaystyle z_{n}=re^{\frac {2\pi in}{N}}}$

con r < 1, tendiendo a 0.

Aplicaciones

Las desigualdades de Grunsky implican muchas desigualdades para funciones univalentes. También fueron utilizadas por Schiffer y Charzynski en 1960 para dar una prueba completamente elemental de la conjetura de Bieberbach para el cuarto coeficiente; Schiffer y Garabedian habían encontrado previamente una prueba mucho más complicada en 1955. En 1968, Pedersen y Ozawa utilizaron independientemente las desigualdades de Grunsky para demostrar la conjetura para el sexto coeficiente. ^{[1] [2]}

En la prueba de Schiffer y Charzynski, si

${\displaystyle f(x)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+\cdots }$

es una función univalente normalizada en | z | < 1, entonces

${\displaystyle g(z)=f(z^{2})^{-1/2}=z+b_{1}z^{-1}+b_{3}z^{-3}+\cdots }$

es una función univalente impar en | z | > 1.

La combinación del teorema del área de Gronwall para f con las desigualdades de Grunsky para el primer menor 2 x 2 de la matriz de Grunsky de g conduce a una cota para | a ₄ | en términos de una función simple de a ₂ y un parámetro complejo libre. El parámetro libre puede elegirse de modo que la cota se convierta en una función de la mitad del módulo de a ₂ y luego puede comprobarse directamente que esta función no es mayor que 4 en el rango [0,1].

Como demostró Milin, las desigualdades de Grunsky pueden ser exponencializadas. El caso más simple se desarrolla escribiendo

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{n\geq 1}a_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}.}$

con un _n ( w ) holomorfo en | w | < 1.

Las desigualdades de Grunsky, con λ _n = w ⁿ implican que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}n|a_{n}(w)|^{2}\leq -\log(1-|w|^{2}).}$

Por otra parte, si

${\displaystyle \sum _{m\geq 0}b_{m}t^{m}=\exp \sum _{n\geq 1}a_{n}t^{n}}$

como serie de potencias formales , entonces la primera de las desigualdades de Lebedev-Milin (1965) establece que ^{[3] [4]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}|^{2}\leq \exp \sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2}.}$

De manera equivalente, la desigualdad establece que si g ( z ) es un polinomio con g (0) = 0, entonces

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|e^{g}|^{2}\,d\theta \leq e^{A},}$

donde A es el área de g ( D ),

Para demostrar la desigualdad, observe que los coeficientes están determinados por la fórmula recursiva

${\displaystyle b_{n}={1 \over n}\sum _{m=1}^{n}ma_{m}b_{n-m}}$

de modo que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq {1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}|b_{n-m}|^{2}.}$

Las cantidades c _n se obtienen al imponer la igualdad aquí:

${\displaystyle c_{n}={1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}c_{n-m}}$

satisfacer y por lo tanto, revertir los pasos, ${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq c_{n}}$

${\displaystyle \sum |b_{n}|^{2}\leq \sum c_{n}=\exp \sum _{m\geq 1}m|a_{m}|^{2}.}$

En particular, definiendo b _n ( w ) por la identidad

${\displaystyle \sum b_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}=\exp \sum a_{m}(\zeta ^{-1})z^{-m}={g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta },}$

La siguiente desigualdad debe cumplirse para | w | < 1

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}(w)|^{2}\leq (1-|w|^{2})^{-1}.}$

Transformación de Beurling

La transformada de Beurling (también llamada transformada de Beurling-Ahlfors y transformada de Hilbert en el plano complejo ) proporciona uno de los métodos más directos para demostrar las desigualdades de Grunsky, siguiendo a Bergman y Schiffer (1951) y Baranov y Hedenmalm (2008).

La transformada de Beurling se define en L ² ( C ) como la operación de multiplicación por en las transformadas de Fourier . Por lo tanto, define un operador unitario. También se puede definir directamente como una integral de valor principal ^[5] ${\displaystyle z/{\overline {z}}}$

${\displaystyle (Th)(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}-{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{h(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy.}$

Para cualquier región abierta acotada Ω en C se define un operador acotado T _Ω del conjugado del espacio de Bergman de Ω sobre el espacio de Bergman de Ω: una función holomorfa integrable al cuadrado se extiende a 0 de Ω para producir una función en L ² ( C ) a la que se aplica T y el resultado se restringe a Ω, donde es holomorfa. Si f es una función univalente holomorfa del disco unitario D sobre Ω, entonces el espacio de Bergman de Ω y su conjugado se pueden identificar con el de D y T _Ω se convierte en el operador integral singular con núcleo

${\displaystyle K_{f}(z,w)={\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}.}$

Define una contracción . Por otra parte, se puede comprobar que T _D = 0 calculando directamente las potencias utilizando el teorema de Stokes para trasladar la integral al límite. ${\displaystyle {\overline {z}}^{n}}$

De ello se deduce que el operador con núcleo

${\displaystyle {f'(z)f'(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}={\partial ^{2} \over \partial z\partial w}\log {f(z)-f(w) \over z-w}=-\sum _{m,n\geq 1}mnc_{mn}z^{m-1}w^{n-1}}$

actúa como una contracción en el conjugado del espacio de Bergman de D . Por lo tanto, si

${\displaystyle p(z)=\lambda _{1}+\lambda _{2}{\overline {z}}+\lambda _{3}{\overline {z}}^{2}+\cdots +\lambda _{N}{\overline {z}}^{N-1},}$

entonces

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}=\|(T_{f}-T_{z})p\|^{2}=\|T_{f}p\|^{2}\leq \|p\|^{2}=\sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

Operador de Grunsky y determinante de Fredholm

Si Ω es un dominio acotado en C con borde suave, el operador T _Ω puede considerarse como un operador contractivo antilineal acotado en el espacio de Bergman H = A ² (Ω). Se da por la fórmula

${\displaystyle (T_{\Omega }u)(z)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{{\overline {u(z)}} \over (z-w)^{2}}\,\,dx\,dy}$

para u en el espacio de Hilbert H = A ² (Ω). T _Ω se denomina operador de Grunsky de Ω (o f ). Su realización en D utilizando una función univalente f que mapea D sobre Ω y el hecho de que T _D = 0 muestra que está dada por restricción del núcleo

${\displaystyle {\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}-{\frac {1}{(z-w)^{2}}},}$

y por lo tanto es un operador de Hilbert-Schmidt .

El operador antilineal T = T _Ω satisface la relación de autoadjunción

${\displaystyle (Tu,v)=(Tv,u)}$

para u , v en H .

Por lo tanto, A = T ² es un operador lineal autoadjunto compacto en H con

${\displaystyle (Au,u)=(Tu,Tu)=\|Tu\|^{2}\geq 0,}$

de modo que A es un operador positivo. Por el teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos, existe una base ortonormal u _n de H que consta de vectores propios de A :

${\displaystyle Au_{n}=\mu _{n}u_{n},}$

donde μ _n no es negativo por la positividad de A . Por lo tanto

${\displaystyle \mu _{n}=\lambda _{n}^{2}}$

con λ _n ≥ 0. Puesto que T conmuta con A , deja sus espacios propios invariantes. La relación de positividad muestra que actúa trivialmente en el espacio propio cero. Los demás espacios propios distintos de cero son todos de dimensión finita y mutuamente ortogonales. Por lo tanto, se puede elegir una base ortonormal en cada espacio propio de modo que:

${\displaystyle Tu_{n}=\lambda _{n}u_{n}.}$

(Nótese que por antilinealidad de T .) ${\displaystyle T(iu_{n})=-\lambda _{n}iu_{n}}$

_{Los λ n} distintos de cero (o a veces sus recíprocos) se denominan valores propios de Fredholm de Ω:

${\displaystyle 0\leq \lambda _{n}\leq \|T\|\leq 1.}$

Si Ω es un dominio acotado que no es un disco, Ahlfors demostró que

${\displaystyle \|T_{\Omega }\|<1.}$

El determinante de Fredholm para el dominio Ω está definido por ^{[6] [7]}

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=\det(I-T_{\Omega }^{2})=\prod (1-\lambda _{n}^{2}).}$

Tenga en cuenta que esto tiene sentido porque A = T ² es un operador de clase de seguimiento .

Schiffer y Hawley (1962) demostraron que si y f fija 0, entonces ^{[8] [9]} ${\displaystyle 0\in \Omega }$

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=-{\frac {1}{12\pi }}\left[\|\partial _{z}\log f'\|_{D}^{2}+\|\partial _{z}\log g'\|_{D^{c}}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {f(z)}{z}}\right\|_{D}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {g(z)}{z}}\right\|_{D^{c}}^{2}\right].}$

Aquí las normas están en los espacios de Bergman de D y su complemento D ^c y g es una función univalente de D ^c sobre Ω ^c que fija ∞.

Una fórmula similar se aplica en el caso de un par de funciones univalentes (ver más abajo).

Operadores integrales singulares en una curva cerrada

Sea Ω un dominio acotado simplemente conexo en C con borde liso C = ∂Ω. Por lo tanto, existe una función holomorfa univalente f desde el disco unitario D sobre Ω que se extiende hasta una función lisa entre los bordes S ¹ y C .

Notas

1. Duren 1983, págs. 131-133
2. Koepf 2007
3. Duren 1983, págs. 143-144
4. Aparte de la prueba elemental de este resultado presentada aquí, hay varias otras pruebas analíticas en la literatura. Nikolski (2002, p. 220), siguiendo a de Branges , señala que es una consecuencia de las desigualdades estándar relacionadas con los núcleos reproductores . Widom (1988) observó que era una consecuencia inmediata de la fórmula del límite de Szegő (1951). De hecho, si f es el polinomio trigonométrico de valor real en el círculo dado como el doble de la parte real de un polinomio g ( z ) que se desvanece en 0 en el disco unitario, la fórmula del límite de Szegő establece que los determinantes de Toeplitz de e ^f aumentan a e ^A donde A es el área de g ( D ). El primer determinante es, por definición, simplemente el término constante en e ^f = | e ^g | ² .
5. Ahlfors 1966
6. Schiffer 1959, pág. 261
7. Schiffer y Hawley 1962, pág. 246
8. Schiffer y Hawley 1962, págs. 245-246
9. Takhtajan y Teo 2006

Referencias

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