Conexión Grothendieck

En geometría algebraica y geometría diferencial sintética , una conexión de Grothendieck es una forma de ver las conexiones en términos de datos de descenso de vecindarios infinitesimales de la diagonal.

Introducción y motivación

La conexión de Grothendieck es una generalización de la conexión de Gauss-Manin construida de manera análoga a aquella en la que la conexión de Ehresmann generaliza la conexión de Koszul . La construcción en sí debe satisfacer un requisito de invariancia geométrica , que puede considerarse como el análogo de la covariancia para una clase más amplia de estructuras, incluidos los esquemas de geometría algebraica. Por lo tanto, la conexión en cierto sentido debe vivir en un haz natural en una topología de Grothendieck . En esta sección, discutimos cómo describir una conexión de Ehresmann en términos de teoría de haces como una conexión de Grothendieck.

Sea una variedad y una inmersión sobreyectiva , de modo que es una variedad fibrilada sobre Sea el fibrado jet de primer orden de secciones de Esto puede considerarse como un fibrado sobre o un fibrado sobre el espacio total de Con la última interpretación, una conexión de Ehresmann es una sección del fibrado (sobre ) El problema es, por tanto, obtener una descripción intrínseca del haz de secciones de este fibrado vectorial. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle J^{1}(M,E)}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle J^{1}(M,E)\to E.}$

La solución de Grothendieck es considerar la incrustación diagonal El haz de ideales de en consiste en funciones en las que se desvanecen a lo largo de la diagonal. Gran parte de la geometría infinitesimal de se puede realizar en términos de Por ejemplo, es el haz de secciones del fibrado cotangente . Se puede definir un entorno infinitesimal de primer orden de en como el subesquema correspondiente al haz de ideales (ver a continuación una descripción de coordenadas). ${\displaystyle \Delta :M\to M\times M.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}\left(I,I^{2}\right)}$ ${\displaystyle M^{(2)}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle I^{2}.}$

Hay un par de proyecciones dadas por la proyección de los respectivos factores del producto cartesiano, que se restringen a dar proyecciones Ahora se puede formar el retroceso del espacio de fibra a lo largo de uno u otro de o En general, no hay una forma canónica de identificar y entre sí. Una conexión de Grothendieck es un isomorfismo especificado entre estos dos espacios. Se puede proceder a definir la curvatura y la p-curvatura de una conexión en el mismo lenguaje. ${\displaystyle p_{1},p_{2}:M\times M\to M}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}:M^{(2)}\to M.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}.}$ ${\displaystyle p_{1}^{*}E}$ ${\displaystyle p_{2}^{*}E}$

Véase también

• Conexión (matemáticas)  – Función que indica cómo cambia una determinada variable a medida que se mueve a lo largo de ciertos puntos en el espacio.

Referencias

1. Osserman, B., "Conexiones, curvatura y p-curvatura", preimpresión .
2. Katz, N., "Conexiones nilpotentes y el teorema de monodromía", IHES Publ. Math. 39 (1970) 175–232.