Grassmanniano afín (colector)

Concepto matemático

En matemáticas , hay dos significados distintos del término Grassmanniano afín . En uno es la variedad de todos los subespacios afines k -dimensionales de R ⁿ (descritos en esta página), mientras que en el otro, el Grassmanniano afín es un cociente de un anillo de grupo basado en la serie formal de Laurent.

Definicion formal

Dado un espacio vectorial de dimensión finita V y un entero no negativo k , entonces Graff _k ( V ) es el espacio topológico de todos los subespacios k -dimensionales afines de V.

Tiene una proyección natural p :Graff _k ( V ) → Gr _k ( V ), la Grassmanniana de todos los subespacios lineales k -dimensionales de V al definir p ( U ) como la traducción de U a un subespacio a través del origen. Esta proyección es una fibración, y si a V se le da un producto interno, la fibra que contiene U se puede identificar con , el complemento ortogonal de p ( U ). Por lo tanto, las fibras son espacios vectoriales, y la proyección p es un paquete de vectores sobre el Grassmanniano , que define la estructura múltiple en Graff _k ( V ). ${\displaystyle p(U)^{\perp }}$

Como espacio homogéneo , el Grassmanniano afín de un espacio vectorial n -dimensional V puede identificarse con

${\displaystyle \mathrm {Graff} _{k}(V)\simeq {\frac {E(n)}{E(k)\times O(n-k)}}}$

donde E ( n ) es el grupo euclidiano de R ⁿ y O ( m ) es el grupo ortogonal de R ^m . De ello se deduce que la dimensión está dada por

${\displaystyle \dim \left[\mathrm {Graff} _{k}(V)\right]=(n-k)(k+1)\,.}$

(Esta relación es más fácil de deducir de la identificación de la siguiente sección, como la diferencia entre el número de coeficientes, ( n − k )( n +1) y la dimensión del grupo lineal que actúa sobre las ecuaciones, ( n − k ) ² .)

Relación con el Grassmanniano ordinario

Sean ( x ₁ ,..., x _n ) las coordenadas lineales habituales en R ⁿ . Entonces R ⁿ está incrustado en R ^{n +1} como el hiperplano afín x _{n +1}  = 1. Los subespacios afines k -dimensionales de R ⁿ están en correspondencia uno a uno con los subespacios lineales ( k + 1 )-dimensionales de R ^{n +1} que están en posición general con respecto al plano x _{n +1}  = 1. De hecho, un subespacio afín k -dimensional de R ⁿ es el lugar geométrico de las soluciones de un sistema de ecuaciones afines de rango n  −  k

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=a_{1,n+1}\\&\vdots &\\a_{n-k,1}x_{1}+\cdots +a_{n-k,n}x_{n}&=a_{n-k,n+1}.\end{aligned}}}$

Estos determinan un sistema de ecuaciones lineales de rango n − k en R ^{n +1}

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=a_{1,n+1}x_{n+1}\\&\vdots &\\a_{n-k,1}x_{1}+\cdots +a_{n-k,n}x_{n}&=a_{n-k,n+1}x_{n+1}.\end{aligned}}}$

cuya solución es un plano ( k  + 1) que, cuando se cruza con x _{n +1 = 1, es el plano} k  original .

Debido a esta identificación, Graff( k , n ) es un conjunto abierto de Zariski en Gr( k  + 1,  n  + 1).

Referencias

• Klain, Daniel A.; Rota, Gian-Carlo (1997), Introducción a la probabilidad geométrica , Cambridge: Cambridge University Press