Gran icosidodecaedro romo invertido

Poliedro con 92 caras

Modelo 3D de un gran icosidodecaedro romo invertido

En geometría , el gran icosidodecaedro romo invertido (o gran icosidodecaedro vertisromo ) es un poliedro estrellado uniforme , indexado como U _69. Tiene un símbolo de Schläfli sr{ 5 ⁄ 3 ,3} y un diagrama de Coxeter-Dynkin . En el libro Polyhedron Models de Magnus Wenninger , el poliedro es llamado erróneamente icosidodecaedro romo grande , y viceversa.

Coordenadas cartesianas

Sea el mayor cero negativo (menos negativo) del polinomio , donde es la proporción áurea . Sea el punto dado por ${\displaystyle \xi \approx -0.5055605785332548}$ ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\phi ^{-2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\xi \\\phi ^{-2}-\phi ^{-2}\xi \\-\phi ^{-3}+\phi ^{-1}\xi +2\phi ^{-1}\xi ^{2}\end{pmatrix}}}$.

Sea la matriz dada por ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle M}$es la rotación alrededor del eje en un ángulo de , en sentido antihorario. Sean las transformaciones lineales las transformaciones que envían un punto a las permutaciones pares de con un número par de signos menos. Las transformaciones constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un tetraedro regular . Las transformaciones , constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un icosaedro regular . Entonces los 60 puntos son los vértices de un gran icosaedro romo. La longitud de la arista es igual a , el circunradio es igual a , y el radio medio es igual a . ${\displaystyle (1,0,\phi )}$ ${\displaystyle 2\pi /5}$ ${\displaystyle T_{0},\ldots ,T_{11}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\pm x,\pm y,\pm z)}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}M^{j}}$ ${\displaystyle (i=0,\ldots ,11}$ ${\displaystyle j=0,\ldots ,4)}$ ${\displaystyle T_{i}M^{j}p}$ ${\displaystyle -2\xi {\sqrt {1-\xi }}}$ ${\displaystyle -\xi {\sqrt {2-\xi }}}$ ${\displaystyle -\xi }$

Para un icosidodecaedro romo grande cuya longitud de arista es 1, el radio circunscrito es

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 0.6450202372957795}$

Su radio medio es

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 0.4074936889340787}$

Las cuatro raíces reales positivas del séxtico en R ² , son los radios circunscritos del dodecaedro romo (U ₂₉ ), gran icosidodecaedro romo (U ₅₇ ), gran icosidodecaedro romo invertido (U ₆₉ ), y gran icosidodecaedro retrorromo (U ₇₄ ). $${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$$

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El gran hexecontaedro pentagonal invertido (o trisicosaedro petaloidal ) es un poliedro isoédrico no convexo . Está compuesto por 60 caras pentagonales cóncavas , 150 aristas y 92 vértices.

Es el dual del icosidodecaedro romo invertido grande uniforme .

Dimensiones

Denotemos la proporción áurea por . Sea el cero positivo más pequeño del polinomio . Entonces cada cara pentagonal tiene cuatro ángulos iguales de y un ángulo de . Cada cara tiene tres aristas largas y dos cortas. La razón entre las longitudes de las aristas largas y cortas está dada por ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \xi \approx 0.252\,780\,289\,27}$ ${\displaystyle P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}}$ ${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 75.357\,903\,417\,42^{\circ }}$ ${\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 238.568\,386\,330\,33^{\circ }}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle l={\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 3.528\,053\,034\,81}$.

El ángulo diedro es igual a . Una parte de cada cara se encuentra dentro del sólido, por lo que es invisible en los modelos sólidos. Los otros dos ceros del polinomio desempeñan un papel similar en la descripción del gran hexecontaedro pentagonal y del gran hexecontaedro pentagrammático . ${\displaystyle \arccos(\xi /(\xi +1))\approx 78.359\,199\,060\,62^{\circ }}$ ${\displaystyle P}$

Véase también

• Lista de poliedros uniformes
• Gran icosidodecaedro romo
• Gran icosidodecaedro retrosnub

Referencias

• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Sr.  0730208pág. 126

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Gran hexecontaedro pentagonal invertido". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Gran icosidodecaedro romo invertido". MathWorld .