trama ternaria

Gráfico baricéntrico en tres variables.

Un diagrama de inflamabilidad ternario , que muestra qué mezclas de metano , gas oxígeno y gas nitrógeno inerte arderán.

Un gráfico ternario , un gráfico ternario , un gráfico triangular , un gráfico simplex o un triángulo de Gibbs es un gráfico baricéntrico de tres variables que suman una constante. ^[1] Representa gráficamente las proporciones de las tres variables como posiciones en un triángulo equilátero . Se utiliza en química física , petrología , mineralogía , metalurgia y otras ciencias físicas para mostrar las composiciones de sistemas compuestos por tres especies. En genética de poblaciones , un gráfico triangular de frecuencias genotípicas se denomina diagrama de De Finetti . En teoría de juegos , a menudo se le llama trama simplex . ^[2] Los gráficos ternarios son herramientas para analizar datos de composición en el caso tridimensional.

En una gráfica ternaria, los valores de las tres variables a , b y c deben sumar alguna constante , K. Normalmente, esta constante se representa como 1,0 o 100%. Debido a que a + b + c = K para todas las sustancias que se representan gráficamente, cualquier variable no es independiente de las demás, por lo que sólo se deben conocer dos variables para encontrar el punto de una muestra en la gráfica: por ejemplo, c debe ser igual a K − a − b . Como los tres valores numéricos no pueden variar de forma independiente (sólo hay dos grados de libertad ), es posible representar gráficamente las combinaciones de las tres variables en sólo dos dimensiones.

La ventaja de utilizar un gráfico ternario para representar composiciones químicas es que se pueden representar convenientemente tres variables en un gráfico bidimensional. Los gráficos ternarios también se pueden utilizar para crear diagramas de fases delineando las regiones de composición en el gráfico donde existen diferentes fases.

Los valores de un punto en una gráfica ternaria corresponden (hasta una constante) a sus coordenadas trilineales o coordenadas baricéntricas .

Leer valores en un gráfico ternario

Hay tres métodos equivalentes que se pueden utilizar para determinar los valores de un punto en el gráfico:

1. Método de líneas paralelas o cuadrícula . El primer método consiste en utilizar un diagrama de cuadrícula que consta de líneas paralelas a los bordes del triángulo. Una paralela a un lado del triángulo es el lugar geométrico de los puntos constantes en la componente situada en el vértice opuesto al lado. Cada componente está al 100% en una esquina del triángulo y al 0% en el borde opuesto, disminuyendo linealmente al aumentar la distancia (perpendicular al borde opuesto) desde esta esquina. Al dibujar líneas paralelas a intervalos regulares entre la línea cero y la esquina, se pueden establecer divisiones finas para facilitar la estimación.
2. Línea perpendicular o método de altitud . Para diagramas que no poseen líneas de cuadrícula, la forma más sencilla de determinar los valores es determinar las distancias más cortas (es decir, perpendiculares) desde el punto de interés a cada uno de los tres lados. Según el teorema de Viviani , las distancias (o las razones de las distancias a la altura del triángulo ) dan el valor de cada componente.
3. Método de línea de esquina o intersección . El tercer método no requiere trazar líneas perpendiculares o paralelas. Se dibujan líneas rectas desde cada esquina, pasando por el punto de interés, hasta el lado opuesto del triángulo. Las longitudes de estas líneas, así como las longitudes de los segmentos entre el punto y los lados correspondientes, se miden individualmente. La relación de las líneas medidas da el valor del componente como una fracción del 100%.

Un desplazamiento a lo largo de una línea paralela (línea de cuadrícula) preserva la suma de dos valores, mientras que el movimiento a lo largo de una línea perpendicular aumenta (o disminuye) los dos valores en la misma cantidad, cada mitad de la disminución (aumento) del tercer valor. El movimiento a lo largo de una línea que pasa por una esquina conserva la proporción de los otros dos valores.

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  Figura 1. Método de altitud
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  Figura 2. Método de intersección
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  Figura 3. Un ejemplo de diagrama ternario, sin ningún punto trazado.
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  Figura 4. Un diagrama ternario de ejemplo, que muestra incrementos a lo largo del primer eje.
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  Figura 5. Un ejemplo de diagrama ternario, que muestra incrementos a lo largo del segundo eje.
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  Figura 6. Un ejemplo de diagrama ternario, que muestra incrementos a lo largo del tercer eje.
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  Figura 7. Parcela ternaria vacía
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  Figura 8. Indicación de cómo funcionan los tres ejes.
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  Gráfico de triángulo sin etiquetar con líneas de cuadrícula principales
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  Gráfico de triángulo sin etiquetar con líneas de cuadrícula mayores y menores

Derivación de coordenadas cartesianas

Derivación de un gráfico ternario a partir de coordenadas cartesianas.

La figura (1) muestra una proyección oblicua del punto P ( a , b , c ) en un espacio cartesiano tridimensional con ejes a , b y c , respectivamente.

Si a + b + c = K (una constante positiva), P está restringido a un plano que contiene A( K ,0,0) , B(0, K ,0) y C(0,0, K ) . Si a , b y c no pueden ser negativos, P está restringido al triángulo delimitado por A , B y C , como en (2).

En (3), los ejes se rotan para dar una vista isométrica . El triángulo, visto de frente, parece equilátero .

En (4), las distancias de P a las líneas BC , AC y AB se denotan por a ′ , b ′ y c ′ , respectivamente.

Para cualquier línea l = s + t n̂ en forma vectorial ( n̂ es un vector unitario) y un punto p , la distancia perpendicular de p a l es

${\displaystyle \left\|(\mathbf {s} -\mathbf {p} )-{\bigl (}(\mathbf {s} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr )}\mathbf {\hat {n}} \right\|\,.}$

En este caso, el punto P está en

${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

La línea BC tiene

${\displaystyle \mathbf {s} ={\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {\hat {n}} ={\frac {{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}}{\left\|{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}\right\|}}={\frac {\begin{pmatrix}0\\K\\-K\end{pmatrix}}{\sqrt {0^{2}+K^{2}+{(-K)}^{2}}}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\,.}$

Usando la fórmula de la distancia perpendicular,

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left({\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left(0+{\frac {K-b}{\sqrt {2}}}+{\frac {c}{\sqrt {2}}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b-{\frac {K-b+c}{2}}\\-c+{\frac {K-b+c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\{\frac {K-b-c}{2}}\\{\frac {K-b-c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&={\sqrt {{(-a)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(K-b-c)}^{2}}{2}}}}\,.\end{aligned}}}$

Sustituyendo K = a + b + c ,

${\displaystyle a'={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(a+b+c-b-c)}^{2}}{2}}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}=a{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

Un cálculo similar en las líneas AC y AB da

${\displaystyle b'=b{\sqrt {\frac {3}{2}}}\quad {\text{and}}\quad c'=c{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

Esto muestra que la distancia del punto a las líneas respectivas es linealmente proporcional a los valores originales a , b y c . ^[3]

Trazando una trama ternaria

Análogo en una cuadrícula cartesiana agregando líneas de pendiente −1. La escala del eje c es la de los ejes a y b . La cruz denota el punto a = b = c . ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

Las coordenadas cartesianas son útiles para trazar puntos en el triángulo. Considere una gráfica ternaria equilátera donde a = 100% se coloca en ( x , y ) = (0,0) y b = 100% en (1,0) . Entonces c = 100% es y el triple ( a , b , c ) es ${\textstyle ({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}),}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2b+c}{a+b+c}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {c}{a+b+c}}\right)\,.}$

Ejemplo

Un triángulo textural del suelo coloreado del Departamento de Agricultura de los Estados Unidos.

Este ejemplo muestra cómo funciona esto para un conjunto hipotético de tres muestras de suelo:

Trazando los puntos

• Trazado de la muestra 1 (paso 1):
  encuentre la línea del 50% de arcilla
• Trazado de la muestra 1 (paso 2):
  Encuentre la línea de sedimento del 20%
• Trazado de la muestra 1 (paso 3):
  al depender de los dos primeros, la intersección está en la línea del 30% de arena
• Trazando todas las muestras
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  Gráfico de triángulo ternario de tipos de suelo arena, arcilla y limo programado con Mathematica

Lista de diagramas ternarios notables

• Diagrama de cromaticidad
• diagrama de finetti
• Trama de Dalitz
• Diagrama de inflamabilidad
• Diagrama de cationes de Jensen
• Diagrama de Piper , utilizado en hidroquímica.
• Diagrama de clasificación UIGS para rocas ultramáficas.
• Diagrama de textura del suelo del USDA por tamaños de partículas

Ver también

• Propiedad molar aparente
• teorema de viviani
• Coordenadas baricéntricas (matemáticas)
• Datos composicionales
• Lista de software de gráficos de información
  • Software de gráficos para ciencias de la tierra
  • IGOR Pro
  • Origen (software de análisis de datos)
  • R tiene un paquete ternario dedicado mantenido en la red integral de archivos de R ( CRAN ).
  • diagrama sigma
• Triángulo del proyecto
• Trilema

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Diagrama ternario". mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de junio de 2021 .
2. Karl Tuyls, "Un análisis evolutivo de la teoría de juegos de las estrategias de póquer", Entertainment Computing, enero de 2009 doi :10.1016/j.entcom.2009.09.002, p. 9
3. Vaughan, Will (5 de septiembre de 2010). "Tramas ternarias". Archivado desde el original el 20 de diciembre de 2010 . Consultado el 7 de septiembre de 2010 .

enlaces externos

• "Plantilla de Excel para diagramas ternarios". serc.carleton.edu . Centro de recursos para la educación científica (SERC) Carleton College . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
• "Tri-plot: software de trazado de diagramas ternarios". www.lboro.ac.uk . Universidad de Loughborough - Departamento de Geografía / Portal de Recursos Inicio > Tri-plot . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
• "Generador de gráficos ternarios: cree rápidamente diagramas ternarios en línea". www.ternaryplot.com . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
• Holanda, Steven (2016). "Análisis de Datos en las Geociencias - Diagramas Ternarios desarrollados en lenguaje R". estrata.uga.edu . Universidad de Georgia . Consultado el 14 de mayo de 2020 .