En el área de las matemáticas denominada teoría combinatoria de grupos , la gráfica lateral de Schreier es una gráfica asociada a un grupo G , un conjunto generador S= { s i : i en I } de G , y un subgrupo H ≤ G. El gráfico de Schreier codifica la estructura abstracta de un grupo módulo una relación de equivalencia formada por la clase lateral .
El gráfico lleva el nombre de Otto Schreier , quien utilizó el término "Nebengruppenbild". [1] Se hizo una definición equivalente en un artículo anterior de Todd y Coxeter. [2]
El gráfico de Schreier de un grupo G, un subgrupo H y un conjunto generador S⊆G se denota por Sch(G,H,S) o Sch(H\G,S) . Sus vértices son las clases laterales derechas Hg = { hg : h en H } para g en G , y sus aristas son de la forma ( Hg , Hgs ) para g en G y s en S .
De manera más general, si X es un conjunto G , la gráfica de Schreier de la acción de G sobre X (con respecto a S⊆G) se denota por Sch(G,X,S) o Sch(X,S). Sus vértices son los elementos de X, y sus aristas son de la forma (x,xs) para x en X y s en S. Esto incluye la definición original del gráfico de clases laterales de Schreier, ya que H\G es naturalmente un conjunto G con respecto a la multiplicación por la derecha. Desde una perspectiva algebraico-topológica , el gráfico Sch(X,S) no tiene vértice distinguido, mientras que Sch(G,H,S) tiene el vértice distinguido H y, por tanto, es un gráfico puntiagudo .
El gráfico de Cayley del grupo G en sí es el gráfico de clases laterales de Schreier para H = {1 G } (Gross y Tucker 1987, p. 73).
Un árbol de expansión de un gráfico lateral de Schreier corresponde a una transversal de Schreier, como en el lema del subgrupo de Schreier (Conder 2003).
El libro "Categorías y grupoides" que se enumera a continuación relaciona esto con la teoría de cubrir los morfismos de los grupoides . Un subgrupo H de un grupo G determina un morfismo de cobertura de grupoides y si S es un conjunto generador para G , entonces su imagen inversa bajo p es el gráfico de Schreier de ( G , S ).
El gráfico es útil para comprender la enumeración de clases laterales y el algoritmo de Todd-Coxeter .
Los gráficos de Coset se pueden utilizar para formar grandes representaciones de permutación de grupos y fueron utilizados por Graham Higman para mostrar que los grupos alternos de grado suficientemente grande son grupos de Hurwitz (Conder 2003).
Los gráficos centrales de Stallings [3] son retracciones de los gráficos de Schreier de grupos libres y son una herramienta esencial para calcular subgrupos de un grupo libre.
Cada gráfico transitivo de vértices es un gráfico lateral.
