Gráficas de movimiento y derivadas

La línea verde muestra la pendiente del gráfico de velocidad-tiempo en el punto particular donde se tocan las dos líneas . Su pendiente es la aceleración en ese punto.

En mecánica , la derivada de la gráfica de posición vs. tiempo de un objeto es igual a la velocidad del objeto. En el Sistema Internacional de Unidades , la posición del objeto en movimiento se mide en metros con respecto al origen , mientras que el tiempo se mide en segundos . Colocando la posición en el eje y y el tiempo en el eje x , la pendiente de la curva viene dada por:

${\displaystyle v={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$

Aquí está la posición del objeto y es el tiempo. Por lo tanto, la pendiente de la curva da el cambio en la posición dividido por el cambio en el tiempo, que es la definición de la velocidad promedio para ese intervalo de tiempo en el gráfico. Si este intervalo se hace infinitesimalmente pequeño, de modo que se convierte en y se convierte en , el resultado es la velocidad instantánea en el tiempo o la derivada de la posición con respecto al tiempo. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\Delta s}}$ ${\displaystyle {ds}}$ ${\displaystyle {\Delta t}}$ ${\displaystyle {dt}}$ ${\displaystyle t}$

Un hecho similar también es válido para el gráfico de velocidad versus tiempo. La pendiente de un gráfico de velocidad versus tiempo es la aceleración , esta vez, colocando la velocidad en el eje y y el tiempo en el eje x. Nuevamente, la pendiente de una línea es el cambio en sobre el cambio en : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$

donde es la velocidad y es el tiempo. Por lo tanto, esta pendiente define la aceleración media en el intervalo y, al reducir el intervalo infinitesimalmente, se obtiene , la aceleración instantánea en el tiempo , o la derivada de la velocidad con respecto al tiempo (o la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo). En el SI , esta pendiente o derivada se expresa en unidades de metros por segundo por segundo ( , generalmente denominados "metros por segundo al cuadrado"). ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {dv}{dt}}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }$

Como la velocidad del objeto es la derivada del gráfico de posición, el área bajo la línea en el gráfico de velocidad versus tiempo es el desplazamiento del objeto. (La velocidad está en el eje y y el tiempo en el eje x. Al multiplicar la velocidad por el tiempo, el tiempo se anula y solo queda el desplazamiento).

La misma regla de multiplicación se aplica a los gráficos de aceleración versus tiempo. Cuando se multiplica la aceleración

Tasas de cambio variables

En este ejemplo, el área amarilla representa el desplazamiento del objeto a medida que se mueve. (La distancia se puede medir tomando el valor absoluto de la función). Las tres líneas verdes representan los valores de aceleración en diferentes puntos a lo largo de la curva.

Las expresiones dadas anteriormente se aplican únicamente cuando la tasa de cambio es constante o cuando solo se requiere la tasa de cambio promedio ( media ). Si la velocidad o las posiciones cambian de manera no lineal con el tiempo, como en el ejemplo que se muestra en la figura, entonces la diferenciación proporciona la solución correcta. La diferenciación reduce los intervalos de tiempo utilizados anteriormente a extremadamente pequeños ( infinitesimales ) y proporciona una velocidad o aceleración en cada punto del gráfico en lugar de entre un punto inicial y uno final. Las formas derivadas de las ecuaciones anteriores son

${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}},}$

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}.}$

Dado que la aceleración diferencia la expresión que involucra la posición, se puede reescribir como una segunda derivada con respecto al tiempo:

${\displaystyle a={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.}$

Dado que, para los fines de la mecánica como ésta, la integración es lo opuesto a la diferenciación, también es posible expresar la posición como una función de la velocidad y la velocidad como una función de la aceleración. El proceso de determinación del área bajo la curva, como se describió anteriormente, puede dar el desplazamiento y el cambio en la velocidad en intervalos de tiempo particulares mediante el uso de integrales definidas :

${\displaystyle s(t_{2})-s(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{v}\,dt,}$

${\displaystyle v(t_{2})-v(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{a}\,dt.}$

Véase también

• Desplazamiento (vector)
• Velocidad
• Aceleración
• Cinemática

Referencias

• Wolfson, Richard; Jay M. Pasachoff (1999). Física para científicos e ingenieros (3.ª ed.). Reading, Massachusetts : Addison-Wesley . Págs. 23-38. ISBN. 0-321-03571-2.