Desigualdad de Griffiths

Desigualdad de correlación en mecánica estadística

En mecánica estadística , la desigualdad de Griffiths , a veces también llamada desigualdad de Griffiths–Kelly–Sherman o desigualdad GKS , llamada así por Robert B. Griffiths , es una desigualdad de correlación para sistemas de espín ferromagnético . De manera informal, dice que en sistemas de espín ferromagnético, si la 'distribución a priori' del espín es invariante bajo inversión de espín, la correlación de cualquier monomio de los espines es no negativa; y la correlación de dos puntos de dos monomios de los espines es no negativa.

La desigualdad fue demostrada por Griffiths para los ferroimanes de Ising con interacciones de dos cuerpos, ^[1] luego generalizada por Kelly y Sherman a interacciones que involucran un número arbitrario de espines, ^[2] y luego por Griffiths a sistemas con espines arbitrarios. ^[3] Una formulación más general fue dada por Ginibre , ^[4] y ahora se llama desigualdad de Ginibre .

Definiciones

Sea una configuración de espines (continuos o discretos) en una red Λ . Si A ⊂ Λ es una lista de sitios de la red, posiblemente con duplicados, sea el producto de los espines en A . ${\displaystyle \textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}}$

Asignar una medida a priori dμ(σ) en los espines; sea H una función de energía de la forma

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,}$

donde la suma es sobre listas de sitios A , y sea

${\displaystyle Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

sea ​​la función de partición . Como es habitual,

${\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }f(\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

representa el promedio del conjunto .

El sistema se denomina ferromagnético si, para cualquier lista de sitios A , J _A ≥ 0 . El sistema se denomina invariante bajo inversión de espín si, para cualquier j en Λ , la medida μ se conserva bajo la función de inversión de signo σ → τ , donde

${\displaystyle \tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}}$

Enunciado de desigualdades

Primera desigualdad de Griffiths

En un sistema de espín ferromagnético que es invariante ante cambios de espín,

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$

para cualquier lista de giros A .

Segunda desigualdad de Griffiths

En un sistema de espín ferromagnético que es invariante ante cambios de espín,

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle }$

para cualquier lista de espines A y B.

La primera desigualdad es un caso especial de la segunda, correspondiente a B = ∅.

Prueba

Observe que la función de partición no es negativa por definición.

Prueba de la primera desigualdad : Desarrollar

${\displaystyle e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}}$

donde n _A (j) representa el número de veces que j aparece en A . Ahora, por invariancia bajo inversión de espín,

${\displaystyle \int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0}$

si al menos un n(j) es impar, y la misma expresión es obviamente no negativa para valores pares de n . Por lo tanto, Z < σ _A >≥0, por lo tanto también < σ _A >≥0.

Demostración de la segunda desigualdad . Para la segunda desigualdad de Griffiths, duplicamos la variable aleatoria, es decir, consideramos una segunda copia del espín, , con la misma distribución de . Entonces ${\displaystyle \sigma '}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.}$

Introducir las nuevas variables

${\displaystyle \sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.}$

El sistema duplicado es ferromagnético en porque es un polinomio en con coeficientes positivos ${\displaystyle \langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle }$ ${\displaystyle \tau ,\tau '}$ ${\displaystyle -H(\sigma )-H(\sigma ')}$ ${\displaystyle \tau ,\tau '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}}$

Además, la medida en es invariante ante cambios de espín porque es. Finalmente , los monomios son polinomios en con coeficientes positivos. ${\displaystyle \tau ,\tau '}$ ${\displaystyle d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')}$ ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}-\sigma '_{B}}$ ${\displaystyle \tau ,\tau '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}}$

La primera desigualdad de Griffiths aplicada a da el resultado. ${\displaystyle \langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle }$

Más detalles se encuentran en ^[5] y ^{[6] .}

Extensión: desigualdad de Ginibre

La desigualdad de Ginibre es una extensión, encontrada por Jean Ginibre, ^[4] de la desigualdad de Griffiths.

Formulación

Sea (Γ,  μ ) un espacio de probabilidad . Para funciones f ,  h en Γ, denotemos

${\displaystyle \langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

Sea A un conjunto de funciones reales en Γ tales que, para cada f ₁ , f ₂ ,..., f _n en A , y para cualquier elección de signos ±,

${\displaystyle \iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.}$

Entonces, para cualquier f , g ,− h en el cono convexo generado por A ,

${\displaystyle \langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.}$

Prueba

Dejar

${\displaystyle Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Ahora bien, la desigualdad se sigue del supuesto y de la identidad.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).}$

Ejemplos

• Para recuperar la (segunda) desigualdad de Griffiths, tomemos Γ = {−1, +1} ^Λ , donde Λ es una red, y sea μ una medida de Γ que es invariante ante cambios de signo. El cono A de polinomios con coeficientes positivos satisface los supuestos de la desigualdad de Ginibre.
• (Γ,  μ ) es un grupo compacto conmutativo con medida de Haar , A es el cono de funciones reales definidas positivas en Γ.
• Γ es un conjunto totalmente ordenado , A es el cono de funciones reales positivas no decrecientes en Γ. Esto produce la desigualdad de suma de Chebyshev . Para una extensión a conjuntos parcialmente ordenados, véase la desigualdad de FKG .

Aplicaciones

• Existe el límite termodinámico de las correlaciones del modelo ferromagnético de Ising (con campo externo h no negativo y condiciones de borde libres).

Esto se debe a que aumentar el volumen es lo mismo que activar nuevos acoplamientos J _B para un determinado subconjunto B . Por la segunda desigualdad de Griffiths

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0}$

Por lo tanto, aumenta monótonamente con el volumen; luego converge ya que está acotado por 1. ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$

• El modelo de Ising unidimensional y ferromagnético con interacciones muestra una transición de fase si . ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle 1<\alpha <2}$

Esta propiedad se puede demostrar en una aproximación jerárquica, que difiere del modelo completo por la ausencia de algunas interacciones: argumentando como antes con la segunda desigualdad de Griffiths, los resultados se trasladan al modelo completo. ^[7]

• La desigualdad de Ginibre proporciona la existencia del límite termodinámico para las correlaciones de energía libre y espín para el modelo XY clásico bidimensional . ^[4] Además, a través de la desigualdad de Ginibre, Kunz y Pfister demostraron la presencia de una transición de fase para el modelo ferromagnético XY con interacción si . ${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle 2<\alpha <4}$
• Aizenman y Simon ^[8] utilizaron la desigualdad de Ginibre para demostrar que la correlación de espín de dos puntos del modelo ferromagnético clásico XY en dimensión , acoplamiento y temperatura inversa está dominada por (es decir, tiene un límite superior dado por) la correlación de dos puntos del modelo ferromagnético de Ising en dimensión , acoplamiento y temperatura inversa. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle J>0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle J>0}$ ${\displaystyle \beta /2}$

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$

Por lo tanto, la crítica del modelo XY no puede ser menor que el doble de la temperatura crítica del modelo de Ising. ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;}$

en dimensión D = 2 y acoplamiento J = 1, esto da

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.}$

• Existe una versión de la desigualdad de Ginibre para el gas de Coulomb que implica la existencia de un límite termodinámico de correlaciones. ^[9]
• ^{En [10]} se analizan otras aplicaciones ( transiciones de fase en sistemas de espín, modelo XY, cadena cuántica XYZ).

Referencias

1. Griffiths, RB (1967). "Correlaciones en los ferroimanes de Ising. I". J. Math. Phys . 8 (3): 478–483. Bibcode :1967JMP.....8..478G. doi :10.1063/1.1705219.
2. Kelly, DJ; Sherman, S. (1968). "Desigualdades del general Griffiths sobre correlaciones en ferroimanes de Ising". J. Math. Phys . 9 (3): 466–484. Bibcode :1968JMP.....9..466K. doi :10.1063/1.1664600.
3. Griffiths, RB (1969). "Resultados rigurosos para la determinación de ferroimanes de espín arbitrario". J. Math. Phys . 10 (9): 1559–1565. Bibcode :1969JMP....10.1559G. doi :10.1063/1.1665005.
4. Ginibre, J. (1970). "Formulación general de las desigualdades de Griffiths". Comm. Math. Phys . 16 (4): 310–328. Bibcode :1970CMaPh..16..310G. doi :10.1007/BF01646537. S2CID  120649586.
5. Glimm, J. ; Jaffe, A. (1987). Física cuántica. Un punto de vista funcional integral . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96476-2.
6. Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas reticulares: una introducción matemática concreta. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
7. Dyson, FJ (1969). "Existencia de una transición de fase en un ferroimán de Ising unidimensional". Comm. Math. Phys . 12 (2): 91–107. Bibcode :1969CMaPh..12...91D. doi :10.1007/BF01645907. S2CID  122117175.
8. Aizenman, M. ; Simon, B. (1980). "Una comparación de los modelos de rotor plano e Ising". Phys. Lett. A . 76 (3–4): 281–282. Código Bibliográfico :1980PhLA...76..281A. doi :10.1016/0375-9601(80)90493-4.
9. Fröhlich, J. ; Park, YM (1978). "Desigualdades de correlación y el límite termodinámico para sistemas continuos clásicos y cuánticos". Comm. Math. Phys . 59 (3): 235–266. Bibcode :1978CMaPh..59..235F. doi :10.1007/BF01611505. S2CID  119758048.
10. Griffiths, RB (1972). "Resultados y teoremas rigurosos". En C. Domb y MSGreen (ed.). Transiciones de fase y fenómenos críticos . Vol. 1. Nueva York: Academic Press. pág. 7.