Geometría calibrada

En el campo matemático de la geometría diferencial , una variedad calibrada es una variedad riemanniana ( M , g ) de dimensión n dotada de una p -forma diferencial φ (para algún 0 ≤ p ≤ n ) que es una calibración, lo que significa que:

φ está cerrado: d φ = 0, donde d es la derivada exterior
para cualquier x ∈ M y cualquier subespacio p -dimensional orientado ξ de T _x M , φ | _ξ = λ vol _ξ con λ ≤ 1. Aquí vol _ξ es la forma de volumen de ξ con respecto a g .

Sea G _x ( φ ) = { ξ como arriba: φ | _ξ = vol _ξ }. (Para que la teoría no sea trivial, necesitamos que G _x ( φ ) no esté vacío.) Sea G ( φ ) la unión de G _x ( φ ) para x en M .

La teoría de las calibraciones se debe a R. Harvey y B. Lawson y otros. Mucho antes (en 1966) Edmond Bonan introdujo las variedades G 2 y las variedades Spin(7) , construyó todas las formas paralelas y demostró que esas variedades eran Ricci-planas. Las variedades de cuaternión-Kähler fueron estudiadas simultáneamente en 1967 por Edmond Bonan y Vivian Yoh Kraines y construyeron la 4-forma paralela.

Subvariedades calibradas

Se dice que una subvariedad p -dimensional Σ de M es una subvariedad calibrada con respecto a φ (o simplemente φ -calibrada) si T Σ se encuentra en G ( φ ).

Un famoso argumento de una línea muestra que las p -subvariedades calibradas minimizan el volumen dentro de su clase de homología . De hecho, supongamos que Σ está calibrado y Σ ′ es una p -subvariedad en la misma clase de homología. Entonces

\int _{\Sigma }\mathrm {vol} _{\Sigma }=\int _{\Sigma }\varphi =\int _{\Sigma '}\varphi \leq \int _{\Sigma '}\mathrm {vol} _{\Sigma '}

donde la primera igualdad se cumple porque Σ está calibrado, la segunda igualdad es el teorema de Stokes (ya que φ está cerrado) y la desigualdad se cumple porque φ es una calibración.

Ejemplos

En una variedad de Kähler , las potencias de la forma de Kähler adecuadamente normalizadas son las calibraciones, y las subvariedades calibradas son las subvariedades complejas . Esto se desprende de la desigualdad de Wirtinger .
En una variedad de Calabi-Yau , la parte real de una forma de volumen holomorfa (adecuadamente normalizada) es una calibración, y las subvariedades calibradas son subvariedades lagrangianas especiales .
En una variedad G 2 , tanto la forma 3 como la forma dual de Hodge 4 definen calibraciones. Las subvariedades calibradas correspondientes se denominan subvariedades asociativas y coasociativas.
En una variedad Spin(7) , la forma 4 que la define, conocida como forma Cayley, es una calibración. Las subvariedades calibradas correspondientes se denominan subvariedades Cayley.

Referencias

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