En matemáticas, el Miracle Octad Generator , o MOG , es una herramienta matemática introducida por Rob T. Curtis [1] para estudiar los grupos de Mathieu , el código binario Golay y la red Leech .
El Miracle Octad Generator es una matriz de combinaciones de 4x6 que describen cualquier punto en el espacio de 24 dimensiones. Conserva todas las simetrías y subgrupos máximos del grupo Mathieu M 24 , a saber, el grupo mónada, el grupo duada, el grupo tríada, el grupo octada, el grupo octern, el grupo sexteto, el grupo trío y el grupo duum. Por lo tanto, se puede utilizar para estudiar todas estas simetrías.
Otro uso del Miracle Octad Generator es verificar rápidamente palabras clave del código binario Golay . Cada elemento del Miracle Octad Generator puede almacenar un '1' o un '0', generalmente mostrados como un asterisco y un espacio en blanco, respectivamente. Cada columna y la fila superior tienen una propiedad conocida como recuento , que es el número de asteriscos en esa línea en particular. Uno de los criterios para que un conjunto de 24 coordenadas sea una palabra clave en el código binario Golay es que los siete conteos tengan la misma paridad . La otra restricción es que las puntuaciones de cada columna forman una palabra en el hexacódigo . La puntuación de una columna puede ser 0, 1, ω o ω-bar, según su contenido. La puntuación de una columna se evalúa mediante las siguientes reglas:
Una palabra clave se puede derivar solo de su fila superior y su puntuación, lo que demuestra que hay exactamente 4096 palabras clave en el código binario de Golay.
John Horton Conway desarrolló una matriz 4×3 conocida como MiniMOG . El MiniMOG proporciona la misma función para el grupo Mathieu M 12 y el código Golay ternario que el Miracle Octad Generator para el código M 24 y binario Golay, respectivamente. En lugar de utilizar un hexacódigo cuaternario, el MiniMOG utiliza un tetracódigo ternario.