Transformación de Zak

Operación matemática

En matemáticas , la transformada de Zak ^{[1] [2]} (también conocida como la función de Gelfand ) es una operación que toma como entrada una función de una variable y produce como salida una función de dos variables. La función de salida se llama transformada de Zak de la función de entrada. La transformada se define como una serie infinita en la que cada término es un producto de una dilatación de una traslación por un entero de la función y una función exponencial . En aplicaciones de la transformada de Zak al procesamiento de señales, la función de entrada representa una señal y la transformada será una representación mixta de tiempo - frecuencia de la señal. La señal puede tener un valor real o un valor complejo , definido en un conjunto continuo (por ejemplo, los números reales) o un conjunto discreto (por ejemplo, los números enteros o un subconjunto finito de números enteros). La transformada de Zak es una generalización de la transformada de Fourier discreta . ^{[1] [2]}

La transformada de Zak había sido descubierta por varias personas en diferentes campos y se la conocía por diferentes nombres. Se la llamó "mapeo de Gelfand" porque Israel Gelfand la introdujo en su trabajo sobre expansiones de funciones propias . La transformada fue redescubierta independientemente por Joshua Zak en 1967, quien la llamó "representación kq". Parece haber un consenso general entre los expertos en el campo para llamarla transformada de Zak, ya que Zak fue el primero en estudiar sistemáticamente esa transformada en un contexto más general y reconocer su utilidad. ^{[1] [2]}

Transformada de Zak en tiempo continuo: Definición

Al definir la transformada de Zak de tiempo continuo, la función de entrada es una función de una variable real. Por lo tanto, sea f ( t ) una función de una variable real t . La transformada de Zak de tiempo continuo de f ( t ) es una función de dos variables reales, una de las cuales es t . La otra variable puede denotarse por w . La transformada de Zak de tiempo continuo se ha definido de diversas formas.

Definición 1

Sea a una constante positiva. La transformada de Zak de f ( t ), denotada por Z _a [ f ], es una función de t y w definida por ^[1]

${\displaystyle Z_{a}[f](t,w)={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi kwi}}$.

Definición 2

El caso especial de la Definición 1 obtenido al tomar a = 1 a veces se toma como la definición de la transformada de Zak. ^[2] En este caso especial, la transformada de Zak de f ( t ) se denota por Z [ f ].

${\displaystyle Z[f](t,w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-2\pi kwi}}$.

Definición 3

La notación Z [ f ] se utiliza para indicar otra forma de la transformada de Zak. En esta forma, la transformada de Zak de f ( t ) se define de la siguiente manera:

${\displaystyle Z[f](t,\nu )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-k\nu i}}$.

Definición 4

Sea T una constante positiva. La transformada de Zak de f ( t ), denotada por Z _T [ f ], es una función de t y w definida por ^[2]

${\displaystyle Z_{T}[f](t,w)={\sqrt {T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+kT)e^{-2\pi kwTi}}$.

Aquí se supone que t y w satisfacen las condiciones 0 ≤ t ≤ T y 0 ≤ w ≤ 1/ T .

Ejemplo

La transformada de Zak de la función

${\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1,&0\leq t<1\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

viene dado por

${\displaystyle Z[\phi ](t,w)=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}}$

donde denota el entero más pequeño no menor que (la función ceil ). ${\displaystyle \lceil -t\rceil }$ ${\displaystyle -t}$

Propiedades de la transformada de Zak

En lo que sigue se supondrá que la transformada de Zak es la que se da en la Definición 2.

1. Linealidad

Sean a y b cualesquiera números reales o complejos. Entonces

${\displaystyle Z[af+bg](t,w)=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)}$

2. Periodicidad

${\displaystyle Z[f](t,w+1)=Z[f](t,w)}$

3. Cuasi-periodicidad

${\displaystyle Z[f](t+1,w)=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)}$

4. Conjugación

${\displaystyle Z[{\bar {f}}](t,w)={\overline {Z[f]}}(t,-w)}$

5. Simetría

Si f ( t ) es par entonces ${\displaystyle Z[f](t,w)=Z[f](-t,-w)}$

Si f ( t ) es impar entonces ${\displaystyle Z[f](t,w)=-Z[f](-t,-w)}$

6. Convolución

Sea la convolución con respecto a la variable t . ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle Z[f\star g](t,w)=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)}$

Fórmula de inversión

Dada la transformada de Zak de una función, la función se puede reconstruir utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{1}Z[f](t,w)\,dw.}$

Transformada de Zak discreta: definición

Sea una función de una variable entera (una secuencia ). La transformada de Zak discreta de es una función de dos variables reales, una de las cuales es la variable entera . La otra variable es una variable real que puede denotarse por . La transformada de Zak discreta también se ha definido de diversas formas. Sin embargo, a continuación solo se da una de las definiciones. ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$

Definición

La transformada de Zak discreta de la función donde es una variable entera, denotada por , se define por ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z[f]}$

${\displaystyle Z[f](n,w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi kwi}.}$

Fórmula de inversión

Dada la transformada discreta de una función , la función se puede reconstruir utilizando la siguiente fórmula: ${\displaystyle f(n)}$

${\displaystyle f(n)=\int _{0}^{1}Z[f](n,w)\,dw.}$

Aplicaciones

La transformada de Zak se ha utilizado con éxito en física, en la teoría cuántica de campos ^[3] , en ingeniería eléctrica, en la representación de señales en tiempo y frecuencia, y en la transmisión de datos digitales. La transformada de Zak también tiene aplicaciones en matemáticas. Por ejemplo, se ha utilizado en el problema de representación de Gabor.

Referencias

1. «Transformada de Zak». Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 15 de diciembre de 2014 .
2. Alexander D. Poularikas, ed. (2010). Manual de transformaciones y aplicaciones (3.ª ed.). CRC Press. págs. 16.1–16.21. ISBN 978-1-4200-6652-4.
3. J. Klauder, BS Skagerstam (1985). Estados coherentes . Científico mundial.