gavilla constante

En matemáticas , el haz constante en un espacio topológico asociado a un conjunto es un haz de conjuntos cuyos tallos son todos iguales . Se denota por o . El presheaf constante con valor es el presheaf que asigna a cada subconjunto abierto del valor , y todos cuyos mapas de restricción son el mapa de identidad . La gavilla constante asociada a es la gavilla de la pregavilla constante asociada a . Este haz se identifica con el haz de funciones con valores localmente constantes en . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

En ciertos casos, el conjunto puede ser reemplazado por un objeto de alguna categoría (por ejemplo, cuando es la categoría de grupos abelianos , o anillos conmutativos ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textbf {C}}}$ ${\displaystyle {\textbf {C}}}$

Las gavillas constantes de grupos abelianos aparecen en particular como coeficientes en la cohomología de las gavillas .

Lo esencial

Sea un espacio topológico y un conjunto. Las secciones de la gavilla constante sobre un conjunto abierto pueden interpretarse como funciones continuas , donde se da la topología discreta . Si es conexo , entonces estas funciones localmente constantes son constantes. Si es el mapa único del espacio de un punto y se considera como un haz en , entonces la imagen inversa es el haz constante en . El espacio de gavilla de es el mapa de proyección (donde se da la topología discreta). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:X\to \{{\text{pt}}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{{\text{pt}}\}}$ ${\displaystyle f^{-1}A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\times A\to X}$

Un ejemplo detallado

Prehaz constante en un espacio discreto de dos puntos

Espacio topológico discreto de dos puntos

Sea el espacio topológico formado por dos puntos y con la topología discreta . tiene cuatro conjuntos abiertos: . En el gráfico se muestran las cinco inclusiones no triviales de los conjuntos abiertos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}}$ ${\displaystyle X}$

Un presheaf elige un conjunto para cada uno de los cuatro conjuntos abiertos de y un mapa de restricción para cada una de las inclusiones (con un mapa de identidad para ). El presheaf constante con valor , denotado , es el presheaf donde están los cuatro conjuntos , los números enteros y todos los mapas de restricción son la identidad. es un functor en el diagrama de inclusiones (un prehaz), porque es constante. Satisface el axioma de pegado, pero no es un haz porque no cumple el axioma de identidad local en el conjunto vacío. Esto se debe a que el conjunto vacío está cubierto por la familia vacía de conjuntos, y, de manera vacía, dos secciones cualesquiera son iguales cuando se restringen a cualquier conjunto de la familia vacía . Por lo tanto, el axioma de identidad local implicaría que dos secciones cualesquiera son iguales, lo cual es falso. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset U}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varnothing =\bigcup \nolimits _{U\in \{\}}U}$ ${\displaystyle F(\varnothing )}$ ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle F(\varnothing )}$

Para modificar esto en un prehaz que satisfaga el axioma de identidad local, sea , un conjunto de un elemento, y proporcione el valor de todos los conjuntos no vacíos. Para cada inclusión de conjuntos abiertos, sea la restricción el mapa único a 0 si el conjunto más pequeño está vacío, o el mapa de identidad en caso contrario. Tenga en cuenta que está obligado por el axioma de identidad local. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(\varnothing )=0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle G(\varnothing )=0}$

Paso intermedio para la gavilla constante.

Ahora es un prehaz separado (satisface la identidad local), pero a diferencia de este no cumple el axioma de pegado. De hecho, está desconectado , cubierto por conjuntos abiertos que no se cruzan y . Elija secciones distintas en over y respectivamente. Debido a que y se restringe al mismo elemento 0 encima , el axioma de pegado garantizaría la existencia de una sección única que se restringe a una y otra vez ; pero los mapas de restricción son la identidad, lo cual es falso. Intuitivamente, es demasiado pequeño para transportar información sobre los componentes conectados y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m\neq n}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G(\{p,q\})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m=s=n}$ ${\displaystyle G(\{p,q\})}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$

Gavilla constante en un espacio topológico de dos puntos

Modificando aún más para satisfacer el axioma de pegado, dejemos

${\displaystyle H(\{p,q\})=\mathrm {Fun} (\{p,q\},\mathbf {Z} )\cong \mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} }$,

las funciones valoradas en , y definen los mapas de restricción de como restricción natural de funciones a y , con el mapa cero restringido a . Entonces es una gavilla, llamada gavilla constante con valor . Dado que todos los mapas de restricción son homomorfismos de anillos, es un haz de anillos conmutativos. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle H}$

Ver también

• Gavilla localmente constante

Referencias

1. "¿La extensión por gavilla cero de la gavilla constante tiene alguna buena descripción?". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 8 de julio de 2022 .

• Sección II.1 de Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Sección 2.4.6 de Tennison, BR (1975), Teoría de la gavilla , ISBN 978-0-521-20784-3