Fórmula de cuadratura de Gauss-Kronrod

Método de integración numérica

La fórmula de cuadratura de Gauss-Kronrod es un método adaptativo para la integración numérica . Es una variante de la cuadratura gaussiana , en la que los puntos de evaluación se eligen de modo que se pueda calcular una aproximación precisa reutilizando la información producida por el cálculo de una aproximación menos precisa. Es un ejemplo de lo que se denomina una regla de cuadratura anidada: para el mismo conjunto de puntos de evaluación de una función, tiene dos reglas de cuadratura, una de orden superior y otra de orden inferior (esta última denominada regla incrustada ). La diferencia entre estas dos aproximaciones se utiliza para estimar el error de cálculo de la integración.

Estas fórmulas reciben su nombre de Alexander Kronrod , quien las inventó en la década de 1960, y de Carl Friedrich Gauss .

Descripción

El problema en la integración numérica es aproximar integrales definidas de la forma

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Estas integrales se pueden aproximar, por ejemplo, mediante la cuadratura gaussiana de n puntos.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}$

donde w _i , x _i son los pesos y puntos en los que evaluar la función f ( x ).

Si se subdivide el intervalo [ a , b ], los puntos de evaluación de Gauss de los nuevos subintervalos nunca coinciden con los puntos de evaluación anteriores (excepto en el punto medio para números impares de puntos de evaluación), y por lo tanto el integrando debe evaluarse en cada punto. Las fórmulas de Gauss-Kronrod son extensiones de las fórmulas de cuadratura de Gauss generadas al agregar puntos a una regla de puntos de tal manera que la regla resultante sea de orden (Laurie (1997, p. 1133); la regla de Gauss correspondiente es de orden ). Estos puntos adicionales son los ceros de los polinomios de Stieltjes . Esto permite calcular estimaciones de orden superior mientras se reutilizan los valores de función de una estimación de orden inferior. La diferencia entre una regla de cuadratura de Gauss y su extensión de Kronrod se usa a menudo como una estimación del error de aproximación. ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3n+1}$ ${\displaystyle 2n-1}$

Ejemplo

Un ejemplo popular combina una regla de Gauss de 7 puntos con una regla de Kronrod de 15 puntos (Kahaner, Moler y Nash 1989, §5.5). Debido a que los puntos de Gauss se incorporan a los puntos de Kronrod, se necesitan solo 15 evaluaciones de funciones en total.

Luego, la integral se estima mediante la regla de Kronrod y el error se puede estimar como . ${\displaystyle K15}$ ${\displaystyle |G7-K15|}$

Para un intervalo arbitrario, las posiciones y los pesos de los nodos se escalan al intervalo de la siguiente manera: ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

${\displaystyle x_{i,{\text{scaled}}}={\frac {x_{i}+1}{2}}(b-a)+a}$

${\displaystyle w_{i,{\text{scaled}}}=w_{i}{\frac {b-a}{2}}}$

Patterson (1968) mostró cómo encontrar extensiones adicionales de este tipo, Piessens & Branders (1974) y Monegato (1978) propusieron algoritmos mejorados , y finalmente el algoritmo más eficiente fue propuesto por Laurie (1997). Se calculan y tabulan los coeficientes de precisión cuádruple (34 dígitos decimales) para (G7, K15), (G10, K21), (G15, K31), (G20, K41) y otros. ^[1]

Implementaciones

Las rutinas para la cuadratura de Gauss-Kronrod son proporcionadas por la biblioteca QUADPACK , la biblioteca científica GNU , las bibliotecas numéricas NAG , R , ^[2] la biblioteca C++ Boost , ^[3] así como el paquete Julia QuadGK.jl ^[4] (que puede calcular fórmulas de Gauss-Kronrod con precisión arbitraria ).

Véase también

• Cuadratura de Clenshaw-Curtis , otra regla de cuadratura anidada con precisión similar

Notas

1. Pavel Holoborodko (7 de noviembre de 2011). "Nodos y pesos de cuadratura de Gauss-Kronrod" . Consultado el 15 de enero de 2016 .
2. "R: Integración de funciones unidimensionales". Documentación de R . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
3. Thompson, Nick; Maddock, John. "Cuadratura de Gauss-Kronrod". boost.org . Consultado el 24 de diciembre de 2017 .
4. "Manual de QuadGK.jl". juliamath.github.io . Consultado el 19 de julio de 2023 .

Referencias

• "Fórmula de cuadratura de Gauss-Kronrod", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kahaner, David; Moler, Cleve ; Nash, Stephen (1989), Métodos numéricos y software , Prentice–Hall , ISBN 978-0-13-627258-8
• Kronrod, Aleksandr Semenovish (1965), Nodos y pesos de fórmulas de cuadratura. Tablas de dieciséis posiciones , Nueva York: Consultants Bureau(Traducción autorizada del ruso)
• Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W. [en alemán] ; Kahaner, David K. (1983), QUADPACK, Un paquete de subrutinas para la integración automática , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-12553-2(Guía de referencia para QUADPACK)
• Patterson, Thomas NL (1968), "La adición óptima de puntos a las fórmulas de cuadratura", Math. Comput. , 22 (104): 847–856 y C1–C11, doi : 10.2307/2004583 , JSTOR  2004583. Fe de erratas en Matemáticas. Comput. 23 : 892.
• Piessens, Robert; Branders, Maria (1974), "Una nota sobre la adición óptima de abscisas a las fórmulas de cuadratura de Gauss y Lobatto", Mathematics of Computation , 28 (125): 135–139, doi : 10.2307/2005820 , JSTOR  2005820
• Monegato, Giovanni (1978), "Algunas observaciones sobre la construcción de reglas de cuadratura gaussiana extendidas", Mathematics of Computation , 32 (141): 247–252, doi : 10.2307/2006272 , JSTOR  2006272
• Laurie, Dirk (1997), "Cálculo de las reglas de cuadratura de Gauss-Kronrod", Matemáticas de la computación , 66 (219): 1133–1145, doi : 10.1090/s0025-5718-97-00861-2

Enlaces externos

• QUADPACK (parte de SLATEC), código fuente [1]. QUADPACK es una colección de algoritmos, en Fortran , para la integración numérica basada en las reglas de Gauss-Kronrod. SLATEC (en Netlib ) es una gran biblioteca de dominio público para computación numérica.
• Código fuente de ALGLIB en C#, C++, Delphi y Visual Basic