Conjetura de Ganea

La conjetura de Ganea es una afirmación que ahora ha sido refutada en topología algebraica . Afirma que

${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times S^{n})=\operatorname {cat} (X)+1}$

para todo , donde es la categoría de Lusternik–Schnirelmann de un espacio topológico X , y S ⁿ es la esfera n -dimensional . ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \operatorname {cat} (X)}$

La desigualdad

${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)}$

se cumple para cualquier par de espacios, y . Además, , para cualquier esfera , . Por lo tanto, la conjetura equivale a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cat} (S^{n})=1}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times S^{n})\geq \operatorname {cat} (X)+1}$

La conjetura fue formulada por Tudor Ganea en 1971. Se demostraron muchos casos particulares de esta conjetura, y Norio Iwase dio un contraejemplo al caso general en 1998. En un artículo de seguimiento de 2002, Iwase dio un contraejemplo aún más fuerte, con X como una variedad lisa y cerrada . Este contraejemplo también refutó una conjetura relacionada, que afirmaba que

${\displaystyle \operatorname {cat} (M\setminus \{p\})=\operatorname {cat} (M)-1,}$

para una variedad cerrada y un punto en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

Un contraejemplo de dimensión mínima para la conjetura fue construido por Don Stanley y Hugo Rodríguez Ordóñez en 2010.

Este trabajo plantea la pregunta: ¿Para qué espacios X se cumple la condición de Ganea, ? Se ha conjeturado que son precisamente los espacios X para los que es igual a un invariante relacionado, ^{[ ¿por quién? ]} ${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times S^{n})=\operatorname {cat} (X)+1}$ ${\displaystyle \operatorname {cat} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Qcat} (X).}$

Además, cat(X * S^n) = cat(X ⨇ S^n ⨧ Im Y + X Re X + Y) = 1 Im(X, Y), 1 Re(X, Y).

Referencias

• Ganea, Tudor (1971). "Algunos problemas sobre invariantes de homotopía numérica". Simposio sobre topología algebraica (Battelle Seattle Res. Center, Seattle Washington, 1971) . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 249. Berlín: Springer. págs. 23–30. doi :10.1007/BFb0060892. MR  0339147.
• Hess, Kathryn (1991). "Una prueba de la conjetura de Ganea para espacios racionales". Topología . 30 (2): 205–214. doi :10.1016/0040-9383(91)90006-P. MR  1098914.
• Iwase, Norio (1998). "Conjetura de Ganea sobre la categoría de Lusternik-Schnirelmann". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 30 (6): 623–634. CiteSeerX  10.1.1.509.2343 . doi :10.1112/S0024609398004548. MR  1642747.
• Iwase, Norio (2002). "Un método _∞ en la categoría de Lusternik–Schnirelmann". Topología . 41 (4): 695–723. arXiv : math/0202119 . doi :10.1016/S0040-9383(00)00045-8. MR  1905835.
• Stanley, Donald; Rodríguez Ordóñez, Hugo (2010). "Un contraejemplo de dimensión mínima a la conjetura de Ganea". Topología y sus aplicaciones . 157 (14): 2304–2315. doi : 10.1016/j.topol.2010.06.009 . MR  2670507.
• Vandembroucq, Lucile (2002). "Suspensión por fibras y categoría de Lusternik–Schnirelmann". Topología . 41 (6): 1239–1258. doi :10.1016/S0040-9383(02)00007-1. MR  1923222.
• Zachary Marshall Gehring-Young.