En matemáticas , el género es una clasificación de formas cuadráticas y retículos sobre el anillo de números enteros. Una forma cuadrática integral es una forma cuadrática sobre Z n , o equivalentemente un Z -módulo libre de rango finito. Dos de estas formas están en el mismo género si son equivalentes sobre los anillos locales Z p para cada primo p y también equivalentes sobre R .
Las formas equivalentes pertenecen al mismo género, pero no se cumple la regla inversa. Por ejemplo, x 2 + 82 y 2 y 2 x 2 + 41 y 2 pertenecen al mismo género, pero no son equivalentes en Z. Las formas del mismo género tienen el mismo discriminante y, por lo tanto, solo hay un número finito de clases de equivalencia en un género.
La fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel da el peso o masa de las formas cuadráticas de un género, el recuento de clases de equivalencia ponderadas por los recíprocos de los órdenes de sus grupos de automorfismo.
Para las formas cuadráticas binarias existe una estructura de grupo en el conjunto C de clases de equivalencia de formas con un discriminante dado . Los géneros se definen por los caracteres genéricos . El género principal, el género que contiene la forma principal, es precisamente el subgrupo C 2 y los géneros son las clases laterales de C 2 : por lo que en este caso todos los géneros contienen el mismo número de clases de formas.