Prueba de Furstenberg de la infinitud de los números primos

Prueba de la infinitud de los números primos

En matemáticas , particularmente en teoría de números , la prueba de Hillel Furstenberg de la infinitud de los números primos es una prueba topológica de que los números enteros contienen infinitos números primos . Cuando se examina de cerca, la prueba es menos una afirmación sobre la topología que una afirmación sobre ciertas propiedades de las secuencias aritméticas . ^{[1] [2]} A diferencia de la prueba clásica de Euclides , la prueba de Furstenberg es una prueba por contradicción . La prueba fue publicada en 1955 en la revista American Mathematical Monthly mientras Furstenberg todavía era un estudiante universitario en la Universidad Yeshiva .

La prueba de Furstenberg

Defina una topología sobre los números enteros , llamada topología de números enteros uniformemente espaciados , declarando que un subconjunto U  ⊆  es un conjunto abierto si y solo si es una unión de secuencias aritméticas S ( a ,  b ) para a  ≠ 0, o está vacío (lo que puede verse como una unión nula (unión vacía) de secuencias aritméticas), donde ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle S(a,b)=\{an+b\mid n\in \mathbb {Z} \}=a\mathbb {Z} +b.}$

De manera equivalente, U es abierto si y sólo si para cada x en U existe algún entero distinto de cero a tal que S ( a ,  x ) ⊆  U . Los axiomas para una topología se verifican fácilmente:

• ∅ es abierto por definición, y es simplemente la secuencia S (1, 0), y por lo tanto también es abierta. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Toda unión de conjuntos abiertos es abierta: para cualquier colección de conjuntos abiertos U _i y x en su unión U , cualquiera de los números a _i para los cuales S ( a _i ,  x ) ⊆  U _i también muestra que S ( a _i ,  x ) ⊆  U .
• La intersección de dos conjuntos abiertos (y, por lo tanto, de un número finito de ellos) es abierta: sean U ₁ y U ₂ conjuntos abiertos y sea x  ∈  U ₁  ∩  U ₂ (con los números a ₁ y a ₂ estableciendo la pertenencia). Sea a el mínimo común múltiplo de a ₁ y a ₂ . Entonces S ( a ,  x ) ⊆  S ( a _i ,  x ) ⊆  U _i .

Esta topología tiene dos propiedades notables:

1. Dado que cualquier conjunto abierto no vacío contiene una secuencia infinita, un conjunto finito no vacío no puede ser abierto; dicho de otra manera, el complemento de un conjunto finito no vacío no puede ser un conjunto cerrado .
2. Los conjuntos base S ( a ,  b ) son a la vez abiertos y cerrados : son abiertos por definición, y podemos escribir S ( a ,  b ) como el complemento de un conjunto abierto de la siguiente manera:

${\displaystyle S(a,b)=\mathbb {Z} \setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}S(a,b+j).}$

Los únicos números enteros que no son múltiplos enteros de números primos son −1 y +1, es decir

${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\mathrm {\,prime} }S(p,0).}$

Ahora bien, por la primera propiedad topológica, el conjunto del lado izquierdo no puede ser cerrado. Por otra parte, por la segunda propiedad topológica, los conjuntos S ( p , 0) son cerrados. Por lo tanto, si sólo hubiera un número finito de números primos, entonces el conjunto del lado derecho sería una unión finita de conjuntos cerrados, y por lo tanto cerrado. Esto sería una contradicción , por lo que debe haber un número infinito de números primos.

Propiedades topológicas

La topología entera espaciada uniformemente en es la topología inducida por la inclusión , donde es el anillo entero profinito con su topología profinita. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\hat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$

Es homeomorfo a los números racionales con la topología de subespacio heredada de la recta real , ^[3] lo que deja claro que cualquier subconjunto finito de él, como , no puede ser abierto. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{-1,+1\}}$

Notas

1. Mercer, Idris D. (2009). "Sobre la prueba de Furstenberg de la infinitud de los números primos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 116 (4): 355–356. CiteSeerX 10.1.1.559.9528 . doi :10.4169/193009709X470218. 
2. Clark, Pete L. (2017). "El criterio euclidiano para irreducibles". The American Mathematical Monthly . 124 (3): 198–216. doi :10.4169/amer.math.monthly.124.3.198. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.124.3.198. S2CID  92986609. Véase la discusión inmediatamente anterior al Lema 3.2 o consulte la Sección 3.5.
3. Broughan, Kevin A. (agosto de 2003). "Topologías ádicas para enteros racionales". Revista Canadiense de Matemáticas . 55 (4): 711–723. doi : 10.4153/CJM-2003-030-3 . ISSN  0008-414X. S2CID  121286344.

Referencias

• Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (1998). "Pruebas del libro" (Documento). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag .
• Furstenberg, Harry (1955). "Sobre la infinitud de los números primos". American Mathematical Monthly . 62 (5): 353. doi :10.2307/2307043. JSTOR  2307043. MR  0068566.
• Mercer, Idris D. (2009). "Sobre la prueba de Furstenberg de la infinitud de los números primos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 116 (4): 355–356. CiteSeerX  10.1.1.559.9528 . doi :10.4169/193009709X470218.
• Keith Conrad https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/primestopology.pdf
• Lovas, R.; Mező, I. (2015). "Algunas observaciones sobre el espacio topológico de Furstenberg". Elemente der Mathematik . 70 (3): 103–116. doi :10.4171/EM/283. S2CID  126337479.

Enlaces externos

• Prueba de Furstenberg de que hay infinitos números primos en Everything2
• Prueba de Fürstenberg de la infinitud de los números primos en PlanetMath .