Función zeta de Ruelle

En matemáticas , la función zeta de Ruelle es una función zeta asociada a un sistema dinámico . Recibe su nombre en honor al físico matemático David Ruelle .

Definición formal

Sea f una función definida en una variedad M , tal que el conjunto de puntos fijos Fix( f ⁿ ) es finito para todo n  > 1. Además, sea φ una función en M con valores en matrices complejas d  ×  d . La función zeta del primer tipo es ^[1] 

${\displaystyle \zeta (z)=\exp \left(\sum _{m\geq 1}{\frac {z^{m}}{m}}\sum _{x\in \operatorname {Fix} (f^{m})}\operatorname {Tr} \left(\prod _{k=0}^{m-1}\varphi (f^{k}(x))\right)\right)}$

Ejemplos

En el caso especial d  = 1, φ  = 1, tenemos ^[1]

${\displaystyle \zeta (z)=\exp \left(\sum _{m\geq 1}{\frac {z^{m}}{m}}\left|\operatorname {Fix} (f^{m})\right|\right)}$

que es la función zeta de Artin-Mazur .

La función zeta de Ihara es un ejemplo de una función zeta de Ruelle. ^[2]

Véase también

• Lista de funciones zeta

Referencias

1. Terras (2010) pág. 28
2. Terras (2010) pág. 29

• Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006). Geometría fractal, dimensiones complejas y funciones zeta. Geometría y espectros de cuerdas fractales . Springer Monographs in Mathematics. Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-33285-5.Zbl 1119.28005  .
• Kotani, Motoko ; Sunada, Toshikazu (2000). "Funciones Zeta de gráficos finitos". J. Matemáticas. Ciencia. Univ. Tokio . 7 : 7–25.
• Terras, Audrey (2010). Funciones zeta de gráficos: un paseo por el jardín . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 128. Cambridge University Press . ISBN 0-521-11367-9.Zbl 1206.05003  .
• Ruelle, David (2002). "Funciones zeta dinámicas y operadores de transferencia" (PDF) . Boletín de la AMS . 8 (59): 887–895.