En cálculo proposicional , una función proposicional o un predicado es una oración expresada de manera que asumiría el valor de verdadero o falso , excepto que dentro de la oración hay una variable ( x ) que no está definida ni especificada (siendo, por lo tanto, una variable libre ), lo que deja la declaración indeterminada. La oración puede contener varias de estas variables (por ejemplo, n variables, en cuyo caso la función toma n argumentos).
Como función matemática , A ( x ) o A ( x 1 , x 2 , ..., x n ), la función proposicional se abstrae de predicados o formas proposicionales. Como ejemplo, considere el esquema de predicado, "x está caliente". La sustitución de cualquier entidad por x producirá una proposición específica que puede describirse como verdadera o falsa, aunque " x está caliente" por sí sola no tiene valor como enunciado verdadero o falso. Sin embargo, cuando se asigna un valor a x , como lava , la función tiene entonces el valor true ; mientras que uno asigna a x un valor como ice , la función tiene entonces el valor false .
Las funciones proposicionales son útiles en la teoría de conjuntos para la formación de conjuntos . Por ejemplo, en 1903 Bertrand Russell escribió en Principios de las matemáticas (página 106):
Más tarde, Russell examinó el problema de si las funciones proposicionales eran predicativas o no, y propuso dos teorías para intentar responder a esta cuestión: la teoría en zigzag y la teoría ramificada de tipos. [1]
Una función proposicional, o un predicado, en una variable x es una fórmula abierta p ( x ) que involucra a x y que se convierte en una proposición cuando uno le da a x un valor definido del conjunto de valores que puede tomar.
Según Clarence Lewis , "Una proposición es cualquier expresión que es verdadera o falsa; una función proposicional es una expresión, que contiene una o más variables, que se convierte en una proposición cuando cada una de las variables es reemplazada por alguno de sus valores de un dominio de discurso de individuos". [2] Lewis utilizó la noción de funciones proposicionales para introducir relaciones , por ejemplo, una función proposicional de n variables es una relación de aridad n . El caso de n = 2 corresponde a relaciones binarias , de las cuales existen relaciones homogéneas (ambas variables del mismo conjunto) y relaciones heterogéneas .