Función máxima de Hardy-Littlewood

En matemáticas , el operador máximo de Hardy-Littlewood M es un operador no lineal significativo utilizado en análisis real y análisis armónico .

Definición

El operador toma una función f localmente integrable  : R ^d → C y devuelve otra función Mf . Para cualquier punto x ∈ R ^d , la función Mf devuelve el máximo de un conjunto de reales, es decir, el conjunto de valores medios de f para todas las bolas B ( x , r ) de cualquier radio r en x . Formalmente,

${\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|\,dy}$

donde | mi | denota la medida de Lebesgue d -dimensional de un subconjunto E ⊂ R ^d .

Los promedios son conjuntamente continuos en x y r , por lo que la función máxima Mf , siendo la suprema sobre r  > 0, es mensurable . No es obvio que Mf sea finito en casi todas partes. Este es un corolario de la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood .

Desigualdad máxima de Hardy-Littlewood

Este teorema de GH Hardy y JE Littlewood establece que M está acotado como un operador sublineal desde L ^p ( R ^d ) hacia sí mismo para p > 1. Es decir, si f ∈ L ^p ( R ^d ) entonces la función máxima Mf es débil L ¹ -limitado y Mf ∈ L ^p ( R ^d ). Antes de enunciar el teorema con mayor precisión, por simplicidad, sea { f > t } el conjunto { x | f ( x ) > t }. Ahora tenemos:

Teorema (estimación de tipo débil). Para d  ≥ 1, existe una constante C _d  > 0 tal que para todo λ > 0 y f  ∈  L ¹ ( R ^d ), tenemos:

${\displaystyle \left|\{Mf>\lambda \}\right|<{\frac {C_{d}}{\lambda }}\Vert f\Vert _{L^{1}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

Con la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood en la mano, la siguiente estimación de tipo fuerte es una consecuencia inmediata del teorema de interpolación de Marcinkiewicz :

Teorema (estimación de tipo fuerte). Para d  ≥ 1, 1 <  p  ≤ ∞, y f  ∈  L ^p ( R ^d ),

existe una constante C _p,d  > 0 tal que

${\displaystyle \Vert Mf\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

En la estimación de tipo fuerte se desconocen los mejores límites para C _p,d ^{. [1]} Sin embargo posteriormente Elias M. Stein utilizó el método de rotaciones de Calderón-Zygmund para demostrar lo siguiente:

Teorema (Independencia de dimensiones). Para 1 <  p  ≤ ∞ se puede elegir C _p,d = C _p independiente de d . ^{[1] [2]}

Prueba

Si bien hay varias pruebas de este teorema, a continuación se ofrece una común: Para p  = ∞, la desigualdad es trivial (ya que el promedio de una función no es mayor que su supremo esencial ). Para 1 <  p  < ∞, primero usaremos la siguiente versión del lema de cobertura de Vitali para probar la estimación de tipo débil. (Consulte el artículo para ver la prueba del lema).

Lema. Sea X un espacio métrico separable y una familia de bolas abiertas con diámetro acotado. Entonces tiene una subfamilia contable que consta de bolas disjuntas tales que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$

${\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subset \bigcup _{B\in {\mathcal {F'}}}5B}$

donde 5 B es B con 5 veces el radio.

Si Mf ( x ) > t , entonces, por definición, podemos encontrar una bola B _x centrada en x tal que

${\displaystyle \int _{B_{x}}|f|dy>t|B_{x}|.}$

Según el lema, podemos encontrar, entre tales bolas, una secuencia de bolas disjuntas B _j tal que la unión de 5 B _j cubra { Mf > t }. Sigue:

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq 5^{d}\sum _{j}|B_{j}|\leq {5^{d} \over t}\int |f|dy.}$

Esto completa la prueba de la estimación de tipo débil. A continuación deducimos de esto los límites de L ^p . Definir b por b ( x ) = f ( x ) si | f ( x )| > t /2 y 0 en caso contrario. Por la estimación de tipo débil aplicada a b , tenemos:

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq {2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx,}$

con C = 5 ^d . Entonces

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}=\int \int _{0}^{Mf(x)}pt^{p-1}dtdx=p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}|\{Mf>t\}|dt}$

Por la estimación anterior tenemos:

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}\leq p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\left({2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx\right)dt=2Cp\int _{0}^{\infty }\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}t^{p-2}|f|dxdt=C_{p}\|f\|_{p}^{p}}$

donde la constante C _p depende sólo de p y d . Esto completa la demostración del teorema.

Tenga en cuenta que la constante en la prueba se puede mejorar utilizando la regularidad interna de la medida de Lebesgue y la versión finita del lema de cobertura de Vitali . Consulte la sección de Discusión a continuación para obtener más información sobre cómo optimizar la constante. ${\displaystyle C=5^{d}}$ ${\displaystyle 3^{d}}$

Aplicaciones

Algunas aplicaciones de la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood incluyen demostrar los siguientes resultados:

• Teorema de diferenciación de Lebesgue
• Teorema de diferenciación de Rademacher
• Teorema de Fatou sobre la convergencia no tangencial.
• Teorema de integración fraccionaria

Aquí utilizamos un truco estándar que involucra la función máxima para dar una prueba rápida del teorema de diferenciación de Lebesgue. (Pero recuerde que en la demostración del teorema del máximo, usamos el lema de cobertura de Vitali). Sea f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) y

${\displaystyle \Omega f(x)=\limsup _{r\to 0}f_{r}(x)-\liminf _{r\to 0}f_{r}(x)}$

dónde

${\displaystyle f_{r}(x)={\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}f(y)dy.}$

Escribimos f = h + g donde h es continua y tiene soporte compacto y g ∈ L ¹ ( R ⁿ ) con norma que puede hacerse arbitrariamente pequeña. Entonces

${\displaystyle \Omega f\leq \Omega g+\Omega h=\Omega g}$

por continuidad. Ahora, Ω g ≤ 2 Mg y entonces, por el teorema, tenemos:

${\displaystyle \left|\{\Omega g>\varepsilon \}\right|\leq {\frac {2\,M}{\varepsilon }}\|g\|_{1}}$

Ahora, podemos considerar y concluir que Ω f = 0 en casi todas partes; es decir, existe para casi todos los x . Queda por mostrar que el límite en realidad es igual a f ( x ). Pero esto es fácil: se sabe que ( aproximación de la identidad ) y por lo tanto hay una subsecuencia en casi todas partes. Por la unicidad del límite, f _r → f casi en todas partes entonces. ${\displaystyle \|g\|_{1}\to 0}$ ${\displaystyle \lim _{r\to 0}f_{r}(x)}$ ${\displaystyle \|f_{r}-f\|_{1}\to 0}$ ${\displaystyle f_{r_{k}}\to f}$

Discusión

Aún se desconoce cuáles son las constantes más pequeñas C _p,d y C _d en las desigualdades anteriores. Sin embargo, se puede utilizar  un resultado de Elias Stein sobre funciones máximas esféricas para mostrar que, para 1 < p  < ∞, podemos eliminar la dependencia de C _p,d de la dimensión, es decir, C _p,d  =  C _p para alguna constante C _p  > 0 solo dependiendo de p . Se desconoce si existe un límite débil que sea independiente de la dimensión.

Existen varias variantes comunes del operador máximo de Hardy-Littlewood que reemplazan los promedios de bolas centradas con promedios de diferentes familias de conjuntos. Por ejemplo, se puede definir el operador máximo HL no centrado (usando la notación de Stein-Shakarchi)

${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{x\in B_{x}}{\frac {1}{|B_{x}|}}\int _{B_{x}}|f(y)|dy}$

donde se requiere que las bolas B _x simplemente contengan x, en lugar de estar centradas en x. También existe el operador máximo diádico HL

${\displaystyle M_{\Delta }f(x)=\sup _{x\in Q_{x}}{\frac {1}{|Q_{x}|}}\int _{Q_{x}}|f(y)|dy}$

donde Q _x abarca todos los cubos diádicos que contienen el punto x . Ambos operadores satisfacen la desigualdad máxima de HL.

Ver también

• Lema del sol naciente

Referencias

1. Tao, Terence. "Teorema del máximo esférico de Stein". Qué hay de nuevo . Consultado el 22 de mayo de 2011 .
2. Stein, EM (1982). "El desarrollo de funciones cuadradas en la obra de A. Zygmund". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 7 (2): 359–376. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15040-6 .

• John B. Garnett , Funciones analíticas acotadas . Springer-Verlag, 2006
• Antonios D. Melas, La mejor constante para la desigualdad máxima centrada de Hardy-Littlewood , Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688
• Rami Shakarchi y Elias M. Stein , Conferencias de Princeton sobre análisis III: análisis real . Prensa de la Universidad de Princeton, 2005
• Elias M. Stein, Funciones máximas: medias esféricas , Proc. Nacional. Acad. Ciencia. Estados Unidos 73 (1976), 2174–2175
• Elias M. Stein, Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones . Prensa de la Universidad de Princeton, 1971
• Gerald Teschl , Temas de análisis real y funcional (notas de clase)