función spt

La función spt (función de partes más pequeñas) es una función en teoría de números que cuenta la suma del número de partes más pequeñas en cada partición entera de un entero positivo. Está relacionado con la función de partición . ^[1]

Los primeros valores de spt( n ) son:

1, 3, 5, 10, 14, 26, 35, 57, 80, 119, 161, 238, 315, 440, 589... (secuencia A092269 en el OEIS )

Ejemplo

Por ejemplo, hay cinco particiones de 4 (con las partes más pequeñas subrayadas):

4

3 + 1

2 + 2

2+ 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

Estas particiones tienen 1, 1, 2, 2 y 4 partes más pequeñas, respectivamente. Entonces spt(4) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10.

Propiedades

Al igual que la función de partición, spt( n ) tiene una función generadora . esta dado por

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {spt} (n)q^{n}={\frac {1}{(q)_{\infty }}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}\prod _{m=1}^{n-1}(1-q^{m})}{1-q^{n}}}}$

dónde . ${\displaystyle (q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$

La función está relacionada con una forma modular simulada . Denotemos la serie de Eisenstein cuasimodular de peso 2 y denotemos la función eta de Dedekind . Entonces para , la función ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle E_{2}(z)}$ ${\displaystyle \eta (z)}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}(z):=q^{-1/24}S(q)-{\frac {1}{12}}{\frac {E_{2}(z)}{\eta (z)}}}$

es una forma modular simulada de peso 3/2 en el grupo modular completo con sistema multiplicador , donde está el sistema multiplicador para . ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \chi _{\eta }^{-1}}$ ${\displaystyle \chi _{\eta }}$ ${\displaystyle \eta (z)}$

Si bien no se conoce una fórmula cerrada para spt( n ), existen congruencias similares a las de Ramanujan, que incluyen

${\displaystyle \mathrm {spt} (5n+4)\equiv 0\mod (5)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (7n+5)\equiv 0\mod (7)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (13n+6)\equiv 0\mod (13).}$

Referencias

1. Andrews, George E. (1 de noviembre de 2008). "El número de partes más pequeñas en las particiones de n". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (Diario Crelles) . 2008 (624): 133–142. doi :10.1515/CRELLE.2008.083. ISSN  1435-5345. S2CID  123142859.