Función beta

Función matemática

Diagrama de contorno de la función beta

En matemáticas , la función beta , también llamada integral de Euler de primer tipo, es una función especial que está estrechamente relacionada con la función gamma y con los coeficientes binomiales . Se define por la integral

${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}$

para entradas de números complejos tales que . ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle \Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0}$

La función beta fue estudiada por Leonhard Euler y Adrien-Marie Legendre y recibió su nombre de Jacques Binet ; su símbolo Β es una beta mayúscula griega .

Propiedades

La función beta es simétrica , lo que significa que para todas las entradas y . ^[1] ${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$

Una propiedad clave de la función beta es su estrecha relación con la función gamma : ^[1]

${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}$

A continuación se da una prueba en § Relación con la función gamma.

La función beta también está estrechamente relacionada con los coeficientes binomiales . Cuando m (o n , por simetría) es un entero positivo, se deduce de la definición de la función gamma Γ que ^[1]

${\displaystyle \mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}}$

Relación con la función gamma

Se puede encontrar una derivación simple de la relación en el libro de Emil Artin The Gamma Function , páginas 18-19. ^[2] Para derivar esta relación, escriba el producto de dos factoriales como integrales. Como son integrales en dos variables separadas, podemos combinarlas en una integral iterada: ${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}$

Cambiando las variables por u = st y v = s (1 − t ) , porque u + v = s y u / (u+v) = t , tenemos que los límites de integración para s son 0 a ∞ y los límites de integración para t son 0 a 1. Por lo tanto se produce

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}$

Dividiendo ambos lados por obtenemos el resultado deseado. ${\displaystyle \Gamma (z_{1}+z_{2})}$

La identidad establecida puede verse como un caso particular de la identidad para la integral de una convolución .

${\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}$

Uno tiene:

${\displaystyle \Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).}$

Diferenciación de la función beta

Tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi \left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)\right),\quad 1\leq m\leq n,}$

donde denota la función digamma . ${\displaystyle \psi (z)}$

Aproximación

La aproximación de Stirling da la fórmula asintótica

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$

para x grande y y grande .

Si por otro lado x es grande e y es fijo, entonces

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

Otras identidades y fórmulas

La integral que define la función beta se puede reescribir de diversas maneras, incluidas las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}$

donde en la penúltima identidad n es cualquier número real positivo. Se puede pasar de la primera integral a la segunda sustituyendo . ${\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}$

La función beta se puede escribir como una suma infinita ^[3]

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}}$

(donde esta el factorial ascendente ) ${\displaystyle (x)_{n}}$

y como un producto infinito

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}$

La función beta satisface varias identidades análogas a las identidades correspondientes para coeficientes binomiales, incluida una versión de la identidad de Pascal.

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)}$

y una recurrencia simple en una coordenada:

${\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.}$^[4]

Los valores enteros positivos de la función beta también son las derivadas parciales de una función 2D: para todos los enteros no negativos y , ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),}$

dónde

${\displaystyle h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.}$

La identidad similar a Pascal anterior implica que esta función es una solución a la ecuación diferencial parcial de primer orden

${\displaystyle h=h_{a}+h_{b}.}$

Para , la función beta puede escribirse en términos de una convolución que involucra la función de potencia truncada : ${\displaystyle x,y\geq 1}$ ${\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}}$

Las evaluaciones en puntos particulares pueden simplificarse significativamente; por ejemplo,

${\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}}$

y

${\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} }$^[5]

Si tomamos esta última fórmula, se deduce que . Si generalizamos esto en una identidad bivariada para un producto de funciones beta, obtenemos: ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.}$

La integral de Euler para la función beta se puede convertir en una integral sobre el contorno de Pochhammer C como

${\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$

Esta integral de contorno de Pochhammer converge para todos los valores de α y β y, por lo tanto, proporciona la continuación analítica de la función beta.

Así como la función gamma para números enteros describe factoriales , la función beta puede definir un coeficiente binomial después de ajustar los índices:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Además, para el entero n , Β se puede factorizar para obtener una función de interpolación en forma cerrada para valores continuos de k :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$

Función beta recíproca

La función beta recíproca es la función sobre la forma

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}$

Curiosamente, sus representaciones integrales se relacionan estrechamente, como la integral definida de funciones trigonométricas con el producto de su potencia y su ángulo múltiple : ^[6]

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

Función beta incompleta

La función beta incompleta , una generalización de la función beta, se define como ^{[7] [8]}

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}$

Para x = 1 , la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación entre las dos funciones es similar a la que existe entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta . Para los enteros positivos a y b , la función beta incompleta será un polinomio de grado a  +  b  - 1 con coeficientes racionales.

Por la sustitución y , demostramos que ${\displaystyle t=\sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle t={\frac {1}{1+s}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{a-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,\mathrm {d} s}$

La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) se define en términos de la función beta incompleta y la función beta completa:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$

La función beta incompleta regularizada es la función de distribución acumulativa de la distribución beta y está relacionada con la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria X que sigue una distribución binomial con probabilidad de éxito único p y número de ensayos de Bernoulli n : ${\displaystyle F(k;\,n,p)}$

${\displaystyle F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).}$

Propiedades

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\int \mathrm {B} (x;a,b)\mathrm {d} x&=x\mathrm {B} (x;a,b)-\mathrm {B} (x;a+1,b)\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right)\end{aligned}}}$

Expansión de fracciones continuas

La expansión de fracciones continuas

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)={\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\left(1+{\frac {{d}_{1}}{1+}}{\frac {{d}_{2}}{1+}}{\frac {{d}_{3}}{1+}}{\frac {{d}_{4}}{1+}}\cdots \right)}}}$

con coeficientes pares e impares respectivamente

${\displaystyle {d}_{2m+1}=-{\frac {(a+m)(a+b+m)x}{(a+2m)(a+2m+1)}}}$

${\displaystyle {d}_{2m}={\frac {m(b-m)x}{(a+2m-1)(a+2m)}}}$

converge rápidamente cuando no está cerca de 1. Los convergentes y son menores que , mientras que los convergentes y son mayores que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 4m}$ ${\displaystyle 4m+1}$ ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$ ${\displaystyle 4m+2}$ ${\displaystyle 4m+3}$ ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$

Para , la función puede evaluarse de manera más eficiente utilizando . ^[8] ${\displaystyle x>{\frac {a+1}{a+b+2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (1-x;\,b,a)}$

Función beta multivariante

La función beta se puede extender a una función con más de dos argumentos:

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}$

Esta función beta multivariable se utiliza en la definición de la distribución de Dirichlet . Su relación con la función beta es análoga a la relación entre los coeficientes multinomiales y los coeficientes binomiales. Por ejemplo, satisface una versión similar de la identidad de Pascal:

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).}$

Aplicaciones

La función beta es útil para calcular y representar la amplitud de dispersión de las trayectorias de Regge . Además, fue la primera amplitud de dispersión conocida en la teoría de cuerdas , conjeturada por primera vez por Gabriele Veneziano . También aparece en la teoría del proceso de fijación preferencial , un tipo de proceso de urna estocástica . La función beta también es importante en estadística, por ejemplo, para la distribución beta y la distribución beta prima . Como se mencionó brevemente anteriormente, la función beta está estrechamente relacionada con la función gamma y juega un papel importante en el cálculo .

Implementación de software

Incluso si no están disponibles directamente, los valores completos e incompletos de la función beta se pueden calcular utilizando funciones comúnmente incluidas en hojas de cálculo o sistemas de álgebra computacional .

En Microsoft Excel , por ejemplo, la función beta completa se puede calcular con la GammaLnfunción (o special.gammalnen el paquete SciPy de Python ):

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Este resultado se desprende de las propiedades enumeradas anteriormente.

La función beta incompleta no se puede calcular directamente utilizando dichas relaciones y se deben utilizar otros métodos. En GNU Octave, se calcula utilizando una expansión fraccionaria continua .

La función beta incompleta tiene una implementación existente en lenguajes comunes. Por ejemplo, betainc(función beta incompleta) en MATLAB y GNU Octave , pbeta(probabilidad de distribución beta) en R , o special.betaincen SciPy calculan la función beta incompleta regularizada —que es, de hecho, la distribución beta acumulada— y, por lo tanto, para obtener la función beta incompleta real, uno debe multiplicar el resultado de betaincpor el resultado devuelto por la betafunción correspondiente. En Mathematica , Beta[x, a, b]y BetaRegularized[x, a, b]dan y , respectivamente. ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$ ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$

Véase también

• Distribución beta y distribución beta prima , dos distribuciones de probabilidad relacionadas con la función beta
• Suma de Jacobi , análoga de la función beta sobre cuerpos finitos .
• Integral de Nørlund-Rice
• Distribución de Yule-Simon

Referencias

1. Davis, Philip J. (1972), "6. Función gamma y funciones relacionadas", en Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas, Nueva York: Dover Publications , pág. 258, ISBN 978-0-486-61272-0. En concreto, véase 6.2 Función Beta.
2. Artin, Emil, La función gamma (PDF) , pp. 18-19, archivado desde el original (PDF) el 12 de noviembre de 2016 , consultado el 11 de noviembre de 2016
3. Función Beta: Representaciones en serie (Fórmula 06.18.06.0007)
4. Mäklin, Tommi (2022), Métodos probabilísticos para metagenómica de alta resolución (PDF) , Serie de publicaciones A / Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Helsinki, Helsinki: Unigrafia, p. 27, ISBN 978-951-51-8695-9, ISSN  2814-4031
5. "Fórmula de reflexión de Euler - ProofWiki", proofwiki.org , consultado el 2 de septiembre de 2020
6. París, RB (2010), "Función Beta", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
7. Zelen, M.; Severo, NC (1972), "26. Funciones de probabilidad", en Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , Nueva York: Dover Publications , págs. 944, ISBN 978-0-486-61272-0
8. Paris, RB (2010), "Funciones beta incompletas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Función beta", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.1 Función gamma, función beta, factoriales", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 27 de octubre de 2021 , consultado el 9 de agosto de 2011

Enlaces externos

• "Función beta", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Evaluación de la función beta utilizando la transformada de Laplace en PlanetMath .
• Se pueden obtener valores arbitrariamente precisos de:
  • El sitio de funciones de Wolfram: Evaluar Beta Beta regularizada incompleta
  • danielsoper.com: Calculadora de función beta incompleta, Calculadora de función beta incompleta regularizada