función sincrónica

Función matemática especial definida como sin(x)/x

En matemáticas , física e ingeniería , la función sinc , denotada por sinc( x ) , tiene dos formas, normalizada y no normalizada. ^[1]

La sincronización funciona como audio, a 2000 Hz (±1,5 segundos alrededor de cero)

En matemáticas, la función histórica sinc no normalizada se define para x ≠ 0 por

$${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.}$$

Alternativamente, la función sinc no normalizada a menudo se denomina función de muestreo , indicada como Sa( x ). ^[2]

En el procesamiento de señales digitales y la teoría de la información , la función sinc normalizada se define comúnmente para x ≠ 0 por

$${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}$$

En cualquier caso, el valor en x = 0 se define como el valor límite

$${\displaystyle \operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$$

a ≠ 0teorema de compresión

La normalización hace que la integral definida de la función sobre los números reales sea igual a 1 (mientras que la misma integral de la función sinc no normalizada tiene un valor de π ). Como propiedad útil adicional, los ceros de la función sinc normalizada son los valores enteros distintos de cero de x .

La función sinc normalizada es la transformada de Fourier de la función rectangular sin escala. Se utiliza en el concepto de reconstruir una señal continua de banda limitada a partir de muestras uniformemente espaciadas de esa señal.

La única diferencia entre las dos definiciones está en la escala de la variable independiente (el eje x ) por un factor de π . En ambos casos, el valor de la función en la singularidad eliminable en cero se entiende como el valor límite 1. La función sinc es entonces analítica en todas partes y, por tanto, una función completa .

La función también se ha llamado seno cardinal o función seno cardinal . ^{[3] [4]} El término sinc / ˈ s ɪ ŋ k / fue introducido por Philip M. Woodward en su artículo de 1952 "Teoría de la información y probabilidad inversa en telecomunicaciones", en el que decía que la función "ocurre con tanta frecuencia en Fourier análisis y sus aplicaciones que parece merecer alguna notación propia", ^[5] y su libro de 1953 Probability and Information Theory, with Applications to Radar . ^{[6] [7]} La ​​función en sí fue derivada matemáticamente por primera vez en esta forma por Lord Rayleigh en su expresión ( fórmula de Rayleigh ) para la función esférica de Bessel de orden cero del primer tipo.

Propiedades

Los máximos y mínimos locales (pequeños puntos blancos) de la función sinc roja no normalizada corresponden a sus intersecciones con la función coseno azul .

Los cruces por cero de la sinc no normalizada son múltiplos enteros distintos de cero de π , mientras que los cruces por cero de la sinc normalizada ocurren en números enteros distintos de cero.

Los máximos y mínimos locales del sinc no normalizado corresponden a sus intersecciones con la función coseno . Eso es,pecado( ξ )/ξ= cos( ξ ) para todos los puntos ξ donde la derivada depecado( x )/Xes cero y por lo tanto se alcanza un extremo local. Esto se deduce de la derivada de la función sinc:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.}$$

Los primeros términos de la serie infinita para la coordenada x del n -ésimo extremo con coordenada x positiva son

$${\displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}$$

$${\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}$$

nnyx − x _nξ ₀ = (0, 1)

La función sinc normalizada tiene una representación simple como el producto infinito :

$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$$

La función seno cardinal sinc(z) trazada en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i

y está relacionado con la función gamma Γ( x ) mediante la fórmula de reflexión de Euler :

$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}$$

Euler descubrió ^[8] que

$${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}$$

^[9]

Gráfico de coloración de dominio de sinc z =pecado z/z

$${\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}$$

$${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}$$

La transformada continua de Fourier del sinc normalizado (a frecuencia ordinaria) es rect ( f ) :

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}$$

función rectangular1/21/2filtro sincfiltro de paso bajo ideal ( de pared de ladrillo

Esta integral de Fourier, incluido el caso especial

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}$$

integral impropiaintegral de Dirichletintegral de Lebesgue

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$$

La función sinc normalizada tiene propiedades que la hacen ideal en relación con la interpolación de funciones de banda limitada muestreadas :

• Es una función de interpolación, es decir, sinc(0) = 1 y sinc( k ) = 0 para un entero k distinto de cero .
• Las funciones x _k ( t ) = sinc( t − k ) ( k entero) forman una base ortonormal para funciones de banda limitada en el espacio funcional L ² ( R ) , con la frecuencia angular más alta ω _H = π (es decir, la frecuencia de ciclo más alta f _H =1/2).

Otras propiedades de las dos funciones sinc incluyen:

• El sinc no normalizado es la función de Bessel esférica de orden cero del primer tipo, j ₀ ( x ) . El sinc normalizado es j ₀ (π x ) .
• donde Si( x ) es la integral del seno ,
  $${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}$$
• λ sinc( λx ) (no normalizado) es una de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria lineal
  $${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}$$
  El otro esporque( λx )/X, que no está acotada en x = 0 , a diferencia de su contraparte de la función sinc.
• Usando sincronización normalizada,
  $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}$$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}$
• La siguiente integral impropia involucra la función sinc (no normalizada):
  $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}$$

Relación con la distribución del delta de Dirac

La función sinc normalizada se puede utilizar como una función delta naciente , lo que significa que se cumple el siguiente límite débil :

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}$$

Éste no es un límite ordinario, ya que el lado izquierdo no converge. Más bien, significa que

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}$$

para cada función de Schwartz , como puede verse en el teorema de inversión de Fourier . En la expresión anterior, como a → 0 , el número de oscilaciones por unidad de longitud de la función sinc se acerca al infinito. Sin embargo, la expresión siempre oscila dentro de una envolvente de ±1/π x, independientemente del valor de a .

Esto complica la imagen informal de que δ ( x ) es cero para todo x excepto en el punto x = 0 , e ilustra el problema de pensar en la función delta como una función en lugar de una distribución. Una situación similar se encuentra en el fenómeno de Gibbs .

Suma

Todas las sumas en esta sección se refieren a la función sinc no normalizada.

La suma de sinc( n ) sobre el número entero n de 1 a ∞ es igualπ -1/2:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

La suma de los cuadrados también es igualπ -1/2: ^{[10] [11]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

Cuando los signos de los sumandos se alternan y comienzan con +, la suma es igual1/2:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

Las sumas alternas de los cuadrados y cubos también son iguales.1/2: ^[12]

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

Expansión de la serie

La serie de Taylor de la función sinc no normalizada se puede obtener a partir de la del seno (que también produce su valor de 1 en x = 0 ):

$${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

La serie converge para todo x . La versión normalizada se sigue fácilmente:

$${\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

Euler comparó esta serie con la expansión de la forma del producto infinito para resolver el problema de Basilea .

Dimensiones superiores

El producto de funciones sinc 1-D proporciona fácilmente una función sinc multivariada para la cuadrícula cartesiana cuadrada ( red ): sinc _C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) , cuya transformada de Fourier es la función indicadora de un cuadrado en el espacio de frecuencia (es decir, la pared de ladrillos definida en el espacio 2-D). La función sinc para una red no cartesiana (por ejemplo, una red hexagonal ) es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora de la zona de Brillouin de esa red. Por ejemplo, la función sinc para la red hexagonal es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora del hexágono unitario en el espacio de frecuencia. Para una red no cartesiana, esta función no se puede obtener mediante un producto tensorial simple. Sin embargo, la fórmula explícita para la función sinc para las redes hexagonales , cúbicas centradas en el cuerpo , cúbicas centradas en las caras y otras redes de dimensiones superiores se puede derivar explícitamente ^[13] utilizando las propiedades geométricas de las zonas de Brillouin y su conexión con los zotopos .

Por ejemplo, se puede generar una red hexagonal mediante el tramo lineal (entero) de los vectores

$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}$$

Denotando

$${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$

^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}$$

Esta construcción se puede utilizar para diseñar ventanas Lanczos para celosías multidimensionales generales. ^[13]

Ver también

• Filtro antialiasing  : transformación matemática que reduce el daño causado por el aliasing
• Integral de Borwein  – Tipo de integrales matemáticas
• Integral de Dirichlet  – Integral de sen(x)/x de 0 a infinito.
• Remuestreo de Lanczos  – Aplicación de una fórmula matemática
• Lista de funciones matemáticas
• Onda de Shannon
• Filtro sinc  : filtro de paso bajo ideal o filtro de promedio
• Métodos numéricos sinc.
• Funciones trigonométricas de matrices  : funciones importantes para resolver ecuaciones diferenciales
• Integral trigonométrica  : función especial definida por una integral
• Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon  : algoritmo de (re)construcción de señales
• Proyección Winkel Tripel  - Proyección cartográfica de compromiso pseudoazimutal (cartografía)

Referencias

1. Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), "Métodos numéricos", Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248..
2. Singh, RP; Sapre, SD (2008). Sistemas de comunicación, 2E (edición ilustrada). Educación de Tata McGraw-Hill. pag. 15.ISBN​ 978-0-07-063454-1.Extracto de la página 15
3. Weisstein, Eric W. "Función Sinc". mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de junio de 2023 .
4. Merca, Mircea (1 de marzo de 2016). "La función seno cardinal y los números de Chebyshev-Stirling". Revista de teoría de números . 160 : 19–31. doi :10.1016/j.jnt.2015.08.018. ISSN  0022-314X. S2CID  124388262.
5. Woodward, primer ministro; Davies, IL (marzo de 1952). "Teoría de la información y probabilidad inversa en telecomunicaciones" (PDF) . Actas de la IEE - Parte III: Ingeniería de radio y comunicaciones . 99 (58): 37–44. doi :10.1049/pi-3.1952.0011.
6. Poynton, Charles A. (2003). Vídeo digital y HDTV . Editores Morgan Kaufmann. pag. 147.ISBN​ 978-1-55860-792-7.
7. Woodward, Phillip M. (1953). Probabilidad y teoría de la información, con aplicaciones al radar . Londres: Pergamon Press. pag. 29.ISBN​ 978-0-89006-103-9. OCLC  488749777.
8. Euler, Leonhard (1735). "Sobre las sumas de series de recíprocos". arXiv : matemáticas/0506415 .
9. Luis Ortiz-Gracia; Cornelis W. Oosterlee (2016). "Una técnica de Fourier inversa de ondas de Shannon altamente eficiente para valorar opciones europeas". SIAM J. Ciencias. Computación . 38 (1): B118-B143. Código Bib : 2016SJSC...38B.118O. doi :10.1137/15M1014164. hdl : 2072/377498 .
10. "Problema avanzado 6241". Mensual Matemático Estadounidense . 87 (6). Washington, DC: Asociación Matemática de América : 496–498. Junio-julio de 1980. doi :10.1080/00029890.1980.11995075.
11. Robert Baillie; David Borwein ; Jonathan M. Borwein (diciembre de 2008). "Sorprendentes sumas sinc e integrales". Mensual Matemático Estadounidense . 115 (10): 888–901. doi :10.1080/00029890.2008.11920606. hdl : 1959.13/940062 . JSTOR  27642636. S2CID  496934.
12. Bailie, Robert (2008). "Diversión con la serie Fourier". arXiv : 0806.0150v2 [matemáticas.CA].
13. Vosotros, W .; Entezari, A. (junio de 2012). "Una construcción geométrica de funciones sinc multivariadas". Transacciones IEEE sobre procesamiento de imágenes . 21 (6): 2969–2979. Código Bib : 2012ITIP...21.2969Y. doi :10.1109/TIP.2011.2162421. PMID  21775264. S2CID  15313688.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función Sinc". MundoMatemático .