Función Chapman

Gráfica de ch(x, z)

Una función de Chapman describe la integración de la absorción atmosférica a lo largo de una trayectoria oblicua sobre una Tierra esférica, en relación con el caso vertical. Se aplica a cualquier cantidad con una concentración que disminuye exponencialmente con el aumento de la altitud . En una primera aproximación, válida en ángulos cenitales pequeños , la función de Chapman para la absorción óptica es igual a

${\displaystyle \sec(z),\ }$

donde z es el ángulo cenital y sec denota la función secante .

La función Chapman recibe su nombre de Sydney Chapman , quien introdujo la función en 1931. ^[1 ]

Definición

En un modelo isotérmico de la atmósfera, la densidad varía exponencialmente con la altitud según la fórmula barométrica : ${\textstyle \varrho (h)}$ ${\textstyle h}$

${\displaystyle \varrho (h)=\varrho _{0}\exp \left(-{\frac {h}{H}}\right)}$,

donde denota la densidad al nivel del mar ( ) y la llamada altura de escala . La cantidad total de materia atravesada por un rayo vertical que comienza en la altura hacia el infinito está dada por la densidad integrada ("profundidad de columna") ${\textstyle \varrho _{0}}$ ${\textstyle h=0}$ ${\textstyle H}$ ${\textstyle h}$

${\displaystyle X_{0}(h)=\int _{h}^{\infty }\varrho (l)\,\mathrm {d} l=\varrho _{0}H\exp \left(-{\frac {h}{H}}\right)}$.

Para los rayos inclinados que tienen un ángulo cenital , la integración no es sencilla debido a la relación no lineal entre la altitud y la longitud del camino al considerar la curvatura de la Tierra. Aquí, la integral se lee ${\textstyle z}$

${\displaystyle X_{z}(h)=\varrho _{0}\exp \left(-{\frac {h}{H}}\right)\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{H}}\left({\sqrt {s^{2}+l^{2}+2ls\cos z}}-s\right)\right)\,\mathrm {d} l}$,

donde definimos ( denota el radio de la Tierra ). ${\textstyle s=h+R_{\mathrm {E} }}$ ${\textstyle R_{\mathrm {E} }}$

La función Chapman se define como la relación entre la profundidad de la inclinación y la profundidad de la columna vertical . Al definirla , se puede escribir como ${\textstyle \operatorname {ch} (x,z)}$ ${\textstyle X_{z}}$ ${\textstyle X_{0}}$ ${\textstyle x=s/H}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (x,z)={\frac {X_{z}}{X_{0}}}=\mathrm {e} ^{x}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\sqrt {x^{2}+u^{2}+2xu\cos z}}\right)\,\mathrm {d} u}$.

Representaciones

En la literatura se han desarrollado varias representaciones integrales diferentes. La representación original de Chapman dice ^[1]

${\displaystyle \operatorname {ch} (x,z)=x\sin z\int _{0}^{z}{\frac {\exp \left(x(1-\sin z/\sin \lambda )\right)}{\sin ^{2}\lambda }}\,\mathrm {d} \lambda }$.

Huestis ^[2] desarrolló la representación

${\displaystyle \operatorname {ch} (x,z)=1+x\sin z\int _{0}^{z}{\frac {\exp \left(x(1-\sin z/\sin \lambda )\right)}{1+\cos \lambda }}\,\mathrm {d} \lambda }$,

que no sufre de singularidades numéricas presentes en la representación de Chapman.

Casos especiales

Para (incidencia horizontal), la función Chapman se reduce a ^[3] ${\textstyle z=\pi /2}$

${\displaystyle \operatorname {ch} \left(x,{\frac {\pi }{2}}\right)=x\mathrm {e} ^{x}K_{1}(x)}$.

Aquí, se refiere a la función de Bessel modificada de segundo tipo de primer orden. Para valores grandes de , esto puede aproximarse aún más mediante ${\textstyle K_{1}(x)}$ ${\textstyle x}$

${\displaystyle \operatorname {ch} \left(x\gg 1,{\frac {\pi }{2}}\right)\approx {\sqrt {{\frac {\pi }{2}}x}}}$.

Para y , la función Chapman converge a la función secante: ${\textstyle x\rightarrow \infty }$ ${\textstyle 0\leq z<\pi /2}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\operatorname {ch} (x,z)=\sec z}$.

En aplicaciones prácticas relacionadas con la atmósfera terrestre, donde , es una buena aproximación para ángulos cenitales de hasta 60° a 70°, dependiendo de la precisión requerida. ${\textstyle x\sim 1000}$ ${\textstyle \operatorname {ch} (x,z)\approx \sec z}$

Véase también

• Masa de aire
• Física atmosférica
• Ionosfera

Referencias

1. Chapman, S. (1 de septiembre de 1931). "La absorción y el efecto disociativo o ionizante de la radiación monocromática en una atmósfera sobre una Tierra en rotación, parte II. Incidencia rasante". Actas de la Sociedad Física . 43 (5): 483–501. Bibcode :1931PPS....43..483C. doi :10.1088/0959-5309/43/5/302.
2. Huestis, David L. (2001). "Evaluación precisa de la función Chapman para la atenuación atmosférica". Revista de espectroscopia cuantitativa y transferencia radiativa . 69 (6): 709–721. Código Bibliográfico :2001JQSRT..69..709H. doi :10.1016/S0022-4073(00)00107-2.
3. Vasylyev, Dmytro (diciembre de 2021). "Aproximación analítica precisa para la función de incidencia rasante de Chapman". Tierra, planetas y espacio . 73 (1): 112. Bibcode :2021EP&S...73..112V. doi : 10.1186/s40623-021-01435-y . S2CID  234796240.

Enlaces externos

• Función Chapman en Science World
• Smith, FL; Smith, Cody (1972). "Evaluación numérica de la integral de incidencia de pastoreo de Chapman ch(X,χ)". J. Geophys. Res . 77 (19): 3592–3597. Bibcode :1972JGR....77.3592S. doi :10.1029/JA077i019p03592.