Fuerza de la mortalidad

En ciencia actuarial , la fuerza de la mortalidad representa la tasa instantánea de mortalidad a una determinada edad medida sobre una base anualizada. Es idéntico en concepto a la tasa de fallas , también llamada función de riesgo , en la teoría de la confiabilidad .

Motivación y definición.

En una tabla de vida , consideramos la probabilidad de que una persona muera desde la edad x hasta la x +1, llamada q _x . En el caso continuo, también podríamos considerar la probabilidad condicional de que una persona que ha alcanzado la edad ( x ) muera entre las edades x y x + Δx , que es

${\displaystyle P_{x}(\Delta x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}$

donde F _X (x) es la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria continua de edad al momento de la muerte , X. Como Δx tiende a cero, también lo hace esta probabilidad en el caso continuo. La fuerza aproximada de la mortalidad es esta probabilidad dividida por Δx . Si dejamos que Δx tienda a cero, obtenemos la función de fuerza de mortalidad , denotada por : ${\displaystyle \mu (x)}$

${\displaystyle \mu \,(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{\Delta x(1-F_{X}(x))}}={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}$

Dado que f _X ( x ) = F ' _X ( x ) es la función de densidad de probabilidad de X , y S ( x ) = 1 - F _X ( x ) es la función de supervivencia , la fuerza de la mortalidad también se puede expresar de diversas formas como:

${\displaystyle \mu \,(x)={\frac {f_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}=-{\frac {S'(x)}{S(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln[S(x)].}$

Para comprender conceptualmente cómo opera la fuerza de la mortalidad dentro de una población, considere que en las edades, x , donde la función de densidad de probabilidad f _X ( x ) es cero, no hay posibilidad de morir. Por tanto, la fuerza de la mortalidad a estas edades es cero. La fuerza de la mortalidad μ ( x ) define de forma única una función de densidad de probabilidad f _X ( x ).

La fuerza de la mortalidad puede interpretarse como la densidad condicional de fracaso a la edad x , mientras que f ( x ) es la densidad incondicional de fracaso a la edad x . ^[1] La densidad incondicional de fracaso a la edad x es el producto de la probabilidad de supervivencia hasta la edad x y la densidad condicional de fracaso a la edad x , dada la supervivencia hasta la edad x . ${\displaystyle \mu (x)}$

Esto se expresa en símbolos como

${\displaystyle \,\mu (x)S(x)=f_{X}(x)}$

o equivalente

${\displaystyle \mu (x)={\frac {f_{X}(x)}{S(x)}}.}$

En muchos casos, también es deseable determinar la función de probabilidad de supervivencia cuando se conoce la fuerza de la mortalidad. Para hacer esto, integre la fuerza de la mortalidad en el intervalo x a x + t

${\displaystyle \int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy=\int _{x}^{x+t}-{\frac {d}{dy}}\ln[S(y)]\,dy}$.

Según el teorema fundamental del cálculo , esto es simplemente

${\displaystyle -\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy=\ln[S(x+t)]-\ln[S(x)].}$

denotemos

${\displaystyle S_{x}(t)={\frac {S(x+t)}{S(x)}},}$

luego, llevando el exponente a la base e , la probabilidad de supervivencia de un individuo de edad x en términos de la fuerza de la mortalidad es

${\displaystyle S_{x}(t)=\exp \left(-\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy\,\right).}$

Ejemplos

• El ejemplo más simple es cuando la fuerza de la mortalidad es constante:

${\displaystyle \mu (y)=\lambda ,}$

entonces la función de supervivencia es

${\displaystyle S_{x}(t)=e^{-\int _{x}^{x+t}\lambda dy}=e^{-\lambda t},}$

es la distribución exponencial.

• Cuando la fuerza de la mortalidad es

${\displaystyle \mu (y)={\frac {y^{\alpha -1}e^{-y}}{\Gamma (\alpha )-\gamma (\alpha ,y)}},}$

donde γ(α,y) es la función gamma incompleta inferior, la función de densidad de probabilidad es la de la distribución gamma

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x}}{\Gamma (\alpha )}}.}$

• Cuando la fuerza de la mortalidad es

${\displaystyle \mu (y)=\alpha \lambda ^{\alpha }y^{\alpha -1},}$

donde α ≥ 0, tenemos

${\displaystyle \int _{x}^{x+t}\mu (y)dy=\alpha \lambda ^{\alpha }\int _{x}^{x+t}y^{\alpha -1}dy=\lambda ^{\alpha }((x+t)^{\alpha }-x^{\alpha }).}$

Por tanto, la función de supervivencia es

${\displaystyle S_{x}(t)=e^{-\int _{x}^{x+t}\mu (y)dy}=A(x)e^{-(\lambda (x+t))^{\alpha }},}$

donde Esta es la función de supervivencia para la distribución de Weibull . Para α = 1, es igual que la distribución exponencial. ${\displaystyle A(x)=e^{(\lambda x)^{\alpha }}.}$

• Otro ejemplo famoso es cuando el modelo de supervivencia sigue la ley de mortalidad de Gompertz-Makeham . ^[2] En este caso, la fuerza de la mortalidad es

${\displaystyle \mu (y)=A+Bc^{y}\quad {\text{for }}y\geqslant 0.}$

Usando la última fórmula, tenemos

${\displaystyle \int _{x}^{x+t}(A+Bc^{y})dy=At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c].}$

Entonces

${\displaystyle S_{x}(t)=e^{-(At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c])}=e^{-At}g^{c^{x}(c^{t}-1)}}$

dónde ${\displaystyle g=e^{-B/\ln[c]}.}$

Ver también

• Tasa de fracaso
• Función de peligro
• Valor actual actuarial
• ciencia actuarial
• Teoría de la confiabilidad
• Esperanza de vida

Referencias

1. R. Cunningham, T. Herzog, R. Londres (2008). Modelos para Cuantificar el Riesgo, 3ª Edición , Actex.
2. Dickson, David CM, Cambridge (2009). Matemáticas actuariales para riesgos contingentes de la vida, primera edición , Cambridge University Press.