Lema de Frostman

Herramienta para estimar la dimensión de Hausdorff de conjuntos

En matemáticas , y más específicamente, en la teoría de dimensiones fractales , el lema de Frostman proporciona una herramienta conveniente para estimar la dimensión de Hausdorff de conjuntos.

Lema: Sea A un subconjunto de Borel de R ⁿ , y sea s  > 0. Entonces los siguientes son equivalentes:

• H ^s ( A ) > 0, donde H ^s denota la medida de Hausdorff de dimensión s .
• Hay una medida de Borel (sin signo) μ en R ⁿ que satisface μ ( A ) > 0, y tal que

${\displaystyle \mu (B(x,r))\leq r^{s}}$

se cumple para todos los x  ∈  R ⁿ y r > 0.

Otto Frostman demostró este lema para conjuntos cerrados A como parte de su tesis doctoral en la Universidad de Lund en 1935. La generalización a los conjuntos de Borel es más compleja y requiere la teoría de los conjuntos de Suslin .

Un corolario útil del lema de Frostman requiere las nociones de la s -capacidad de un conjunto de Borel A  ⊂  R ⁿ , que se define por

${\displaystyle C_{s}(A):=\sup {\Bigl \{}{\Bigl (}\int _{A\times A}{\frac {d\mu (x)\,d\mu (y)}{|x-y|^{s}}}{\Bigr )}^{-1}:\mu {\text{ is a Borel measure and }}\mu (A)=1{\Bigr \}}.}$

(Aquí, tomamos inf ∅ = ∞ y 1 ⁄ ∞  = 0. Como antes, la medida no tiene signo). Se deduce del lema de Frostman que para Borel A  ⊂  R ⁿ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mathrm {dim} _{H}(A)=\sup\{s\geq 0:C_{s}(A)>0\}.}$

Páginas web

• Ilustrando las medidas de Frostman

Lectura adicional

• Mattila, Pertti (1995), Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 44, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65595-8, Sr.  1333890