De cero al infinito

Libro de teoría de números

From Zero to Infinity: What Makes Numbers Interesting es un libro de divulgación matemática y teoría de números de Constance Reid . Fue publicado originalmente en 1955 por la Thomas Y. Crowell Company. ^[1] La cuarta edición fue publicada en 1992 por la Mathematical Association of America en su serie MAA Spectrum. ^{[2] [3] [4]} AK Peters publicó una quinta "edición del quincuagésimo aniversario" en 2006. ^{[5] [6] [7] [8] [9] [10]}

Fondo

Reid no era una matemática profesional, pero provenía de una familia matemática que incluía a su hermana Julia Robinson y a su cuñado Raphael M. Robinson . ^[11] Había trabajado como maestra de escuela, pero en el momento de la publicación de From Zero to Infinity era una "ama de casa y escritora independiente". ^[1] Se hizo conocida por sus numerosos libros sobre matemáticas y matemáticos, dirigidos a un público popular, de los cuales este fue el primero. ^[11]

El interés de Reid por la teoría de números surgió a raíz del uso de computadoras por parte de su hermana para descubrir los números primos de Mersenne . En 1953, publicó un artículo sobre un tema estrechamente relacionado, los números perfectos , en Scientific American y escribió este libro poco después. ^[4] Su intención era titular What Makes Numbers Interesting ( Qué hace interesantes los números) ; el título From Zero to Infinity (De cero al infinito) fue un cambio realizado por la editorial. ^[8]

Temas

Los doce capítulos de De cero al infinito están numerados con los diez dígitos decimales, ( el número de Euler , aproximadamente 2,71828), y , el número cardinal infinito más pequeño . El tema de cada capítulo está relacionado de alguna manera con su número de capítulo, con un nivel de sofisticación que generalmente aumenta a medida que avanza el libro: ^{[4] [5] [10]} ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

• El capítulo 0 analiza la historia de los sistemas numéricos, el desarrollo de la notación posicional y su necesidad de un símbolo sustituto del cero, y la comprensión mucho más tardía del cero como un número en sí mismo. Analiza las propiedades especiales que posee el cero entre todos los demás números y el concepto de formas indeterminadas que surgen de la división por cero . ^{[4] [5] [10]}
• El capítulo 1 trata sobre el uso de números para contar cosas, la aritmética y los conceptos de números primos y factorización de números enteros . ^{[4] [5]}
• Los temas del Capítulo 2 incluyen la representación binaria , su uso antiguo en la multiplicación campesina y en la aritmética informática moderna, y su formalización como sistema numérico por Gottfried Leibniz . De manera más general, analiza la idea de sistemas numéricos con diferentes bases y bases específicas, incluida la hexadecimal . ^{[4] [5]}
• El capítulo 3 vuelve a los números primos, incluyendo el tamiz de Eratóstenes para generarlos, así como pruebas de primalidad más modernas . ^[4]
• El capítulo 4 trata de los números cuadrados , la observación de Galileo de que los cuadrados son equinumerosos con los números contables, el teorema de Pitágoras , el último teorema de Fermat y las ecuaciones diofánticas en general. ^{[4] [5]}
• El capítulo 5 analiza los números figurados , las particiones enteras y las funciones generadoras y el teorema del número pentagonal que conectan estos dos conceptos. ^{[4] [5]}
• En el capítulo 6, Reid incorpora el material de su artículo anterior sobre los números perfectos (de los cuales 6 es el ejemplo no trivial más pequeño), su conexión con los primos de Mersenne , la búsqueda de números primos grandes y el descubrimiento de nuevos primos de Mersenne por parte de los familiares de Reid. ^{[4] [5]}
• Los primos de Mersenne son los primos que son una unidad menor que una potencia de dos . El capítulo 7, en cambio, trata de los primos que son uno más que una potencia de dos, los primos de Fermat , y su estrecha relación con los polígonos construibles . El heptágono , con siete lados, es el polígono más pequeño que no es construible, porque no es un producto de los primos de Fermat. ^[4]
• El capítulo 8 trata de los cubos y del problema de Waring sobre la representación de números enteros como sumas de cubos u otras potencias. ^{[4] [5]}
• El tema del Capítulo 9 es la aritmética modular , la divisibilidad y sus conexiones con la notación posicional, incluido el uso de la eliminación de nueves para determinar la divisibilidad por nueve. ^{[4] [5] [10]}
• En el capítulo De cero a infinito se pasa de los números enteros a los números irracionales , los números complejos , los logaritmos y la fórmula de Euler . Se conectan estos temas con los números enteros a través de la teoría de fracciones continuas y el teorema de los números primos . ^[4] ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e^{i\pi }=1}$
• El capítulo final, Capítulo , proporciona una introducción básica a los números Aleph y a la teoría de conjuntos infinitos, incluido el argumento diagonal de Cantor para la existencia de conjuntos infinitos incontables. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \aleph _{0}}$

La primera edición incluía solo los capítulos del 0 al 9. ^[1] El capítulo sobre conjuntos infinitos se agregó en la segunda edición, reemplazando una sección sobre la interesante paradoja de los números . ^[12] Las ediciones posteriores del libro fueron "completamente actualizadas" por Reid; ^[4] en particular, la quinta edición incluye actualizaciones sobre la búsqueda de primos de Mersenne y la prueba del Último Teorema de Fermat , y restaura un índice que se había eliminado de ediciones anteriores. ^[9]

Audiencia y recepción

De cero a infinito ha sido escrito para que sea accesible tanto para estudiantes como para adultos no matemáticos, ^[4] requiriendo solo conocimientos de matemáticas de nivel secundario como base. ^[7] Los conjuntos cortos de "preguntas de prueba" en el capítulo final podrían ser útiles para generar debates en el aula, lo que lo convierte en un material útil como complemento para los cursos de matemáticas de la escuela secundaria. ^{[6] [10]}

En su reseña de la cuarta edición, el matemático David Singmaster la describe como "una de las obras clásicas de divulgación matemática desde su aparición inicial" y "una deliciosa introducción a lo que son las matemáticas". ^[4] El crítico Lynn Godshall la llama "una historia de los números muy fácil de leer", "fácilmente entendida tanto por los educadores como por sus estudiantes". ^[6] Murray Siegel la describe como un libro imprescindible para "la biblioteca de cada profesor de matemáticas y de cada facultad universitaria que prepara a los estudiantes para enseñar matemáticas". ^[10]

Singmaster se queja solamente de dos aspectos matemáticos del libro: la afirmación en el capítulo 4 de que los egipcios estaban familiarizados con el triángulo rectángulo 3-4-5 (que todavía es objeto de un considerable debate académico) y la omisión en el capítulo 7 de cualquier discusión sobre por qué la clasificación de polígonos construibles puede reducirse al caso de números primos de lados. ^[4] Siegel señala otro pequeño error, sobre la factorización algebraica, pero sugiere que encontrarlo podría ser otro ejercicio útil para los estudiantes. ^[10]

Referencias

1. Gibb, E. Glenadine (febrero de 1957), "Reseña de From Zero to Infinity , 1.ª ed.", The Mathematics Teacher , 50 (2): 178, JSTOR  27955358
2. Leamy, John (marzo de 1993), "Reseña de From Zero to Infinity , 4.ª ed.", The Mathematics Teacher , 86 (3): 265, JSTOR  27968284
3. Morrison, Philip ; Morrison, Phylis (diciembre de 1992), "Reseña de From Zero to Infinity , 4.ª ed.", Libros de ciencia para jóvenes, Scientific American , 267 (6), JSTOR  24939341
4. Singmaster, David (1993), "Reseña de De cero al infinito , 4.ª ed.", MathSciNet , MR  1154796, Zbl  0803.00002
5. Belle, Vaishak (junio de 2011), "Reseña de From Zero to Infinity, 5.ª ed." (PDF) , ACM SIGACT News , 42 (2): 10–11, doi :10.1145/1998037.1998040
6. Godshall, Lynn (julio de 2007), "Reseña de From Zero to Infinity, 5.ª ed.", Convergencia
7. Hoagland, Kayana (abril de 2008), "Reseña de From Zero to Infinity , 5.ª ed.", The Mathematics Teacher , 101 (8): 622–623, JSTOR  20876226
8. Lozano-Robledo, Álvaro (mayo de 2006), "Reseña de From Zero to Infinity, 5.ª ed.", MAA Reviews , Mathematical Association of America
9. Papp, F.-J. (2006), "Revisión de De cero al infinito , 5.ª ed.", MathSciNet , MR  2198198
10. Siegel, Murray H. (febrero de 2007), "Revisión de From Zero to Infinity , 5.ª ed.", Enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria , 12 (6): 350, JSTOR  41182422
11. "La autora y miembro de la MAA durante mucho tiempo, Constance Reid, muere a los 92 años", MAA News , Mathematical Association of America, 20 de octubre de 2010
12. Hamilton, JMC (1960), "Revisión de De cero al infinito , 2.ª ed.", Mathematics Magazine , 34 (1): 43–44, doi :10.2307/2687853, JSTOR  2687853?, MR  1571022