Fractura de materiales blandos

La fractura de materiales blandos implica grandes deformaciones y embotamiento de grietas antes de que pueda ocurrir la propagación de la grieta. En consecuencia, el campo de tensión cerca de la punta de la grieta es significativamente diferente de la formulación tradicional encontrada en la mecánica de fractura elástica lineal . Por lo tanto, el análisis de fracturas para estas aplicaciones requiere una atención especial. ^[1] La mecánica de fractura elástica lineal (LEFM) y el campo K (ver Mecánica de fracturas ) se basan en el supuesto de deformación infinitesimal y, como resultado, no son adecuados para describir la fractura de materiales blandos. Sin embargo, el enfoque general LEFM se puede aplicar para comprender los conceptos básicos de la fractura en materiales blandos. La solución para el campo de tensión de deformación y grietas en materiales blandos considera una gran deformación y se deriva del marco de elastostática de deformación finita y los modelos de materiales hiperelásticos.

Los materiales blandos ( Soft Matter ) son un tipo de material que incluye, por ejemplo, tejidos biológicos blandos y elastómeros sintéticos, y que es muy sensible a las variaciones térmicas. Por lo tanto, los materiales blandos pueden deformarse mucho antes de que se propaguen las grietas. ^[2]

Modelos de materiales hiperelásticos

Los modelos de materiales hiperelásticos se utilizan para obtener la relación tensión-deformación a través de una función de densidad de energía de deformación. Los modelos relevantes para derivar relaciones tensión-deformación para materiales blandos son: el sólido Mooney-Rivlin , el neo-Hookeano , el material de endurecimiento exponencial y los modelos hiperelásticos de Gent . En esta página, los resultados se derivarán principalmente del modelo neo-Hookeano.

Neo-Hookeano generalizado (FNH)

El modelo neo-hookeano se generaliza para tener en cuenta el factor de endurecimiento:

${\displaystyle W={\frac {\mu }{2b}}\left\{\left[1+{\frac {b}{n}}(I-3)\right]^{n}-1\right\},}$

donde b>0 y n>1/2 son parámetros del material, y es el primer invariante del tensor de deformación de Cauchy-Green: ${\displaystyle I=I_{1}}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},}$

donde estan los principales tramos. ${\displaystyle \lambda _{\alpha }}$

Modelo específico neo-hookeano

Si se establece n=1, se obtiene la función de tensión-deformación específica para el modelo neo-Hookeano :

${\displaystyle W={\frac {\mu }{2}}(I-3)}$.

Soluciones de puntas de grietas por deformación finita (bajo gran deformación)

Figura 1: Formulación del problema de grietas. (A) Grieta no deformada con coordenadas ( ) en base cartesiana y ( ) en base polar. (B) La grieta está bajo condición de deformación plana con carga uniaxial y las coordenadas son ( ) en base cartesiana y ( ) en base polar. Adaptado de Long y Hui [4]. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle r,\theta }$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle \rho ,\phi }$

Dado que el LEFM ya no es aplicable, se han adaptado métodos alternativos para capturar grandes deformaciones en el cálculo de campos de tensión y deformación. En este contexto, el método de análisis asintótico es relevante.

Método de análisis asintótico

El método de análisis asintótico consiste en analizar asintóticamente la punta de la grieta para encontrar una expansión en serie de las coordenadas deformadas capaces de caracterizar la solución cerca de la punta de la grieta. El análisis es reducible a un problema de valores propios no lineal. ^[3]

El problema se formula en base a una grieta en un sólido infinito, cargado en el infinito con tensión uniaxial uniforme bajo condición de deformación plana (ver Fig.1). A medida que la grieta se deforma y progresa, las coordenadas en la configuración actual están representadas por y en base cartesiana y y en base polar. Las coordenadas y son funciones de las coordenadas no deformadas ( ) y cerca de la punta de la grieta, como r→0, se pueden especificar como: ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle r,\theta }$

${\displaystyle y_{\alpha }(r,\theta )=r^{m_{\alpha }}\upsilon _{\alpha }(\theta )+r^{p_{\alpha }}q_{\alpha }(\theta )+...}$

${\displaystyle m_{\alpha }<p_{\alpha },}$ ${\displaystyle \alpha =1,2,}$

donde , son exponentes desconocidos, y , son funciones desconocidas que describen la variación angular. ${\displaystyle m_{\alpha }}$ ${\displaystyle p_{\alpha }}$ ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }(\theta )}$ ${\displaystyle q_{\alpha }(\theta )}$

Para obtener los valores propios, se sustituye la ecuación anterior en el modelo constitutivo, lo que produce los componentes de tensión nominal correspondientes. Luego, se sustituyen las tensiones en las ecuaciones de equilibrio (la misma formulación que en la teoría LEFM) y se aplican las condiciones de contorno. Se conservan los términos más dominantes, lo que da como resultado un problema de valores propios para y . ^[4] ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }(\theta )}$ ${\displaystyle m_{\alpha }}$

Campo de deformación y tensión en una grieta de deformación plana

Para el caso de un sólido neo-Hookeano homogéneo (n=1) bajo la condición de Modo I, las coordenadas deformadas para una configuración de deformación plana están dadas por ^{[4] [5]}

${\displaystyle y_{1}=-b_{0}r\sin ^{2}(\theta /2),\quad y_{2}=ar^{1/2}\sin(\theta /2),}$

donde a y son amplitudes positivas desconocidas que dependen de la carga aplicada y la geometría de la muestra. ${\displaystyle b_{0}}$

Los términos principales para la tensión nominal (o primera tensión de Piola-Kirchhoff , indicada por en esta página) son: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma _{11}=\mu b_{0},\quad \sigma _{12}=o(1),}$

${\displaystyle \sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),}$

${\displaystyle \sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).}$

Por lo tanto, y están delimitados en la punta de la grieta y y tienen la misma singularidad. ${\displaystyle \sigma _{11}}$ ${\displaystyle \sigma _{21}}$ ${\displaystyle \sigma _{21}}$ ${\displaystyle \sigma _{22}}$

Los términos principales para la tensión verdadera (o tensión de Cauchy , indicada por en esta página), ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau _{11}=\mu b_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta /2),}$

${\displaystyle \tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}ab_{0}r^{-1/2}\sin ^{2}(\theta /2),}$

${\displaystyle \tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.}$

El único componente de tensión verdadero completamente definido por a es . También presenta la singularidad más severa. Con eso, está claro que la singularidad difiere si la tensión se da en la configuración actual o de referencia. Además, en LEFM, el campo de tensión verdadero bajo el Modo I tiene una singularidad de , ^[6] que es más débil que la singularidad en . ${\displaystyle \tau _{22}}$ ${\displaystyle {r}^{-1/2}}$ ${\displaystyle \tau _{22}}$

Mientras que en LEFM el campo de desplazamiento cerca de la punta depende únicamente del factor de intensidad de tensión del Modo I, aquí se muestra que para deformaciones grandes, el desplazamiento depende de dos parámetros (a y para una condición de deformación plana). ${\displaystyle b_{0}}$

Campo de deformación y tensión en una grieta de tensión plana

El campo de deformación de la punta de la grieta para una configuración de Modo I en un sólido neo-Hookeano de material homogéneo (n=1) está dado por ^{[4] [5]}

${\displaystyle y_{1}=cr\,\cos \theta ,\quad y_{2}=a{\sqrt {r}}\sin(\theta /2),}$

donde a y c son amplitudes independientes positivas determinadas por las condiciones de contorno del campo lejano.

Los términos dominantes de la tensión nominal son

${\displaystyle \sigma _{11}=\mu c,\quad \sigma _{12}=o(1),}$

${\displaystyle \sigma _{21}=-{\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\sin(\theta /2),}$

${\displaystyle \sigma _{22}={\frac {\mu a}{2}}r^{-1/2}\cos(\theta /2).}$

Y los verdaderos componentes del estrés son

${\displaystyle \tau _{11}=\mu c^{2},\quad \tau _{12}=\tau _{21}=-{\frac {\mu }{2}}acr^{-1/2}\sin(\theta /2),}$

${\displaystyle \tau _{22}={\frac {\mu }{4}}a^{2}r^{-1}.}$

De manera análoga, el desplazamiento depende de dos parámetros (a y c para una condición de tensión plana) y la singularidad es más fuerte en el término. ${\displaystyle \tau _{22}}$

La distribución de la tensión real en las coordenadas deformadas (como se muestra en la Fig. 1B) puede ser relevante al analizar la propagación de grietas y el fenómeno de contusión. Además, es útil al verificar los resultados experimentales de la deformación de la grieta.

J-integral

La integral J representa la energía que fluye hacia la grieta, por lo tanto, se utiliza para calcular la tasa de liberación de energía , G. Además, se puede utilizar como criterio de fractura. Se ha descubierto que esta integral es independiente de la trayectoria siempre que el material sea elástico y no se produzcan daños en la microestructura.

Al evaluar J en una trayectoria circular en la configuración de referencia se obtiene

${\displaystyle J=\pi A\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{2-n}a^{2n},}$

para el modo I de deformación plana, donde a es la amplitud del término de orden principal de y A y n son parámetros del material de la función de deformación-energía. ${\displaystyle y_{2}}$

Para el modo de tensión plana I en un material neo-Heookeano J viene dado por

${\displaystyle J={\frac {\mu \pi }{2}}\left({\frac {b}{n}}\right)^{n-1}\left({\frac {2n-1}{2n}}\right)^{2n-1}n^{1-n}a^{2n},}$

donde b y n son parámetros materiales de los sólidos GNH. Para el caso específico de un modelo neo-hookeano, donde n=1, b=1 y , la integral J para la tensión plana y la deformación plana en el Modo I son las mismas: ${\displaystyle A=\mu /2}$

${\displaystyle J={\frac {\mu \pi a^{2}}{4}}.}$

J-integral en el experimento de cizallamiento puro

La integral J se puede determinar mediante experimentos. Un experimento común es el de cizallamiento puro en una tira infinitamente larga, como se muestra en la figura 2. Los bordes superior e inferior se sujetan con pinzas y la carga se aplica tirando de las pinzas verticalmente para separarlas en ± ∆. ^[4] Este conjunto genera una condición de tensión plana.

Figura 2: Experimento de corte puro.

En estas condiciones, la integral J se evalúa, por tanto, como

${\displaystyle J=2h_{0}W(I_{1},I_{2})=2h_{0}\Psi (\lambda ),}$

dónde ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=\lambda ^{2}+\lambda ^{-2}+1,}$ ${\displaystyle \lambda =1+{\frac {\Delta }{h_{0}}},}$

y es la altura del estado no deformado de la banda. La función se determina midiendo la tensión nominal que actúa sobre la banda estirada mediante : ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle \Psi (\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \Psi =\int _{1}^{\lambda }\sigma (\lambda )d\lambda .}$

Por lo tanto, a partir del desplazamiento impuesto de cada mordaza, ± ∆, es posible determinar la integral J para la tensión nominal correspondiente. Con la integral J, se puede encontrar la amplitud (parámetro a) de algunos componentes de tensión reales. Sin embargo, algunas otras amplitudes de componentes de tensión dependen de otros parámetros como c (por ejemplo, en condiciones de tensión plana) y no se pueden determinar mediante el experimento de corte puro. No obstante, el experimento de corte puro es muy importante porque permite la caracterización de la tenacidad a la fractura de materiales blandos. ${\displaystyle \sigma _{11}}$

Grietas en la interfaz

Figura 3: Geometría de la grieta de la interfaz. Adaptado de Gaubelle y Knauss [5].

Para abordar la interacción de la adhesión entre adhesivos blandos y sustratos rígidos, se especifica la solución asintótica para un problema de grieta en la interfaz entre un material GNH y un sustrato rígido. ^[5] La configuración de grieta en la interfaz considerada aquí se muestra en la Fig. 3, donde se ignora el deslizamiento lateral.

Para el caso especial neo-Hookeano con n=1, y , la solución para las coordenadas deformadas es ${\displaystyle {\overline {v_{1}}}={\overline {v_{2}}}=\cos \theta }$

${\displaystyle y_{1}=a_{1}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r\cos \theta ,}$

${\displaystyle y_{2}=a_{2}r^{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right),}$

Figura 4: Interfaz entre material blando y sustrato rígido. A) Trazado de las coordenadas deformadas de la punta de la grieta. B) Forma parabólica de la punta de la grieta.

que es equivalente a

${\displaystyle y_{1}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}y_{2}-\left({\frac {y_{2}}{a_{2}}}\right)^{2}.}$

De acuerdo con la ecuación anterior, la grieta en este tipo de interfaz se abre con una forma parabólica. Esto se confirma al representar gráficamente las coordenadas normalizadas vs para diferentes proporciones (ver Figura 4). ${\displaystyle y_{1}/a_{2}^{2}}$ ${\displaystyle y_{2}/a_{2}^{2}}$ ${\displaystyle a_{1}/a_{2}}$

Para realizar el análisis de la interfaz entre dos láminas de GNH con las mismas características de endurecimiento, consulte el modelo descrito por Gaubelle y Knauss. ^[5]

Véase también

• Mecánica de fracturas
• Materia blanda
• J-integral
• Sólido neo-hookeano
• Gent (modelo hiperelástico)
• Mooney-rivlin sólido
• Fractura de materiales biológicos

Referencias

1. Goldman Boué, T.; Harpaz, R.; Fineberg, J.; Bouchbinder, E. (2015). "Failing softly: a fracture theory of highly-deformable materials" (Fallo suave: una teoría de fractura de materiales altamente deformables). Soft Matter . 11 (19): 3812–3821. arXiv : 1502.04848 . Bibcode :2015SMat...11.3812G. doi :10.1039/c5sm00496a. ISSN  1744-683X. PMID  25857951. S2CID  3563761.
2. Hui, C.-Y.; A., Jagota; Bennison, S. J; Londono, JD (8 de junio de 2003). "Desgaste por grietas y resistencia de sólidos elásticos blandos". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 459 (2034): 1489–1516. Bibcode :2003RSPSA.459.1489H. doi :10.1098/rspa.2002.1057. ISSN  1471-2946. S2CID  17786122.
3. Knowles, JK; Sternberg, Eli (junio de 1973). "Análisis asintótico de deformación finita del campo elastostático cerca de la punta de una grieta". Journal of Elasticity . 3 (2): 67–107. doi :10.1007/bf00045816. ISSN  0374-3535. S2CID  123079586.
4. Long, Rong; Hui, Chung-Yuen (septiembre de 2015). "Campos de puntas de grietas en sólidos elásticos blandos sometidos a una gran deformación cuasiestática: una revisión". Extreme Mechanics Letters . 4 : 131–155. doi : 10.1016/j.eml.2015.06.002 . ISSN  2352-4316.
5. Geubelle, Philippe H.; Knauss, Wolfgang G. (1994). "Deformaciones finitas en la punta de una grieta en una lámina de material hiperelástico: II. Casos bimateriales especiales". Journal of Elasticity . 35 (1–3): 99–137. doi :10.1007/bf00115540. ISSN  0374-3535. S2CID  120614422.
6. Zehnder, Alan T. (2012). Mecánica de fracturas . Apuntes de clase sobre mecánica aplicada y computacional. Vol. 62. doi :10.1007/978-94-007-2595-9. ISBN 978-94-007-2594-2. ISSN  1613-7736.