Modelo hiperelástico de Gent

El modelo de material hiperelástico de Gent ^[1] es un modelo fenomenológico de elasticidad del caucho que se basa en el concepto de extensibilidad límite de la cadena. En este modelo, la función de densidad de energía de deformación está diseñada de tal manera que tiene una singularidad cuando el primer invariante del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo alcanza un valor límite . ${\displaystyle I_{m}}$

La función de densidad de energía de deformación para el modelo Gent es ^[1]

${\displaystyle W=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)}$

¿Dónde está el módulo de corte y ? ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle J_{m}=I_{m}-3}$

En el límite donde , el modelo de Gent se reduce al modelo sólido neo-hookeano . Esto se puede ver expresando el modelo de Gent en la forma ${\displaystyle J_{m}\rightarrow \infty }$

${\displaystyle W=-{\cfrac {\mu }{2x}}\ln \left[1-(I_{1}-3)x\right]~;~~x:={\cfrac {1}{J_{m}}}}$

Una expansión en serie de Taylor de alrededor y tomando el límite como conduce a ${\displaystyle \ln \left[1-(I_{1}-3)x\right]}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\rightarrow 0}$

${\displaystyle W={\cfrac {\mu }{2}}(I_{1}-3)}$

que es la expresión para la densidad de energía de deformación de un sólido neo-hookeano.

Se han diseñado varias versiones compresibles del modelo Gent. Uno de estos modelos tiene la forma ^[2] (la función de energía de deformación que se muestra a continuación produce una tensión hidrostática distinta de cero sin deformación; consulte ^[3] para ver los modelos compresibles de Gent).

${\displaystyle W=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)+{\cfrac {\kappa }{2}}\left({\cfrac {J^{2}-1}{2}}-\ln J\right)^{4}}$

donde , es el módulo volumétrico y es el gradiente de deformación . ${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Condición de consistencia

Alternativamente, podemos expresar el modelo de Gent en la forma

${\displaystyle W=C_{0}\ln \left(1-{\cfrac {I_{1}-3}{J_{m}}}\right)}$

Para que el modelo sea consistente con la elasticidad lineal , se debe cumplir la siguiente condición :

${\displaystyle 2{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}(3)=\mu }$

donde es el módulo de corte del material. Ahora, en , ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle I_{1}=3(\lambda _{i}=\lambda _{j}=1)}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=-{\cfrac {C_{0}}{J_{m}}}}$

Por lo tanto, la condición de consistencia para el modelo Gent es

${\displaystyle -{\cfrac {2C_{0}}{J_{m}}}=\mu \,\qquad \implies \qquad C_{0}=-{\cfrac {\mu J_{m}}{2}}}$

El modelo de Gent supone que ${\displaystyle J_{m}\gg 1}$

Relaciones tensión-deformación

La tensión de Cauchy para el modelo incompresible de Gent está dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}~{\boldsymbol {B}}}$

Extensión uniaxial

Curvas de tensión-deformación bajo extensión uniaxial para el modelo Gent en comparación con varios modelos de materiales hiperelásticos.

Para la extensión uniaxial en la dirección -, los estiramientos principales son . De la incompresibilidad . Por lo tanto . Por lo tanto, ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{2}=\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$ ${\displaystyle \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda }$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {2}{\lambda }}~.}$

El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo puede entonces expresarse como

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda }}~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.}$

Si las direcciones de los estiramientos principales están orientadas con los vectores base de coordenadas, tenemos

${\displaystyle \sigma _{11}=-p+{\cfrac {\lambda ^{2}\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}~;~~\sigma _{22}=-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{\lambda (J_{m}-I_{1}+3)}}=\sigma _{33}~.}$

Si tenemos ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle p={\cfrac {\mu J_{m}}{\lambda (J_{m}-I_{1}+3)}}~.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}$

La deformación de ingeniería es . La tensión de ingeniería es ${\displaystyle \lambda -1\,}$

${\displaystyle T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}$

Extensión equibiaxial

Para la extensión equibiaxial en las direcciones y , los estiramientos principales son . De la incompresibilidad . Por lo tanto . Por lo tanto, ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,}$ ${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$ ${\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=2~\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.}$

El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo puede entonces expresarse como

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}$

Si las direcciones de los estiramientos principales están orientadas con los vectores base de coordenadas, tenemos

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)=\sigma _{22}~.}$

La deformación de ingeniería es . La tensión de ingeniería es ${\displaystyle \lambda -1\,}$

${\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)=T_{22}~.}$

Extensión plana

Los ensayos de extensión plana se llevan a cabo en muestras delgadas que tienen restricciones para deformarse en una dirección. Para la extensión plana en las direcciones con la dirección restringida, los estiramientos principales son . De incompresibilidad . Por lo tanto . Por lo tanto, ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=1/\lambda \,}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.}$

El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo puede entonces expresarse como

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}$

Si las direcciones de los estiramientos principales están orientadas con los vectores base de coordenadas, tenemos

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~;~~\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{33}=\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}$

La deformación de ingeniería es . La tensión de ingeniería es ${\displaystyle \lambda -1\,}$

${\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}\right)\left({\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-I_{1}+3}}\right)~.}$

Tijeras simples

El gradiente de deformación para una deformación cortante simple tiene la forma ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$

donde son vectores de base ortonormales de referencia en el plano de deformación y la deformación cortante está dada por ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle \gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

En forma de matriz, el gradiente de deformación y el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo pueden entonces expresarse como

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {B}})=3+\gamma ^{2}}$

y la tensión de Cauchy está dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}~{\boldsymbol {B}}}$

En forma de matriz,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p+{\cfrac {\mu J_{m}(1+\gamma ^{2})}{J_{m}-\gamma ^{2}}}&{\cfrac {\mu J_{m}\gamma }{J_{m}-\gamma ^{2}}}&0\\{\cfrac {\mu J_{m}\gamma }{J_{m}-\gamma ^{2}}}&-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}&0\\0&0&-p+{\cfrac {\mu J_{m}}{J_{m}-\gamma ^{2}}}\end{bmatrix}}}$

Referencias

1. Gent, AN, 1996, Una nueva relación constitutiva para el caucho , Rubber Chemistry Tech., 69, págs. 59-61.
2. Mac Donald, BJ, 2007, Análisis de tensión práctico con elementos finitos , Glasnevin, Irlanda.
3. Horgan, Cornelius O.; Saccomandi, Giuseppe (1 de noviembre de 2004). "Modelos constitutivos para materiales elásticos no lineales compresibles con extensibilidad de cadena limitante". Journal of Elasticity . 77 (2): 123–138. doi :10.1007/s10659-005-4408-x. ISSN  1573-2681.
4. Ogden, RW, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , Dover.

Véase también

• Material hiperelástico
• Función de densidad de energía de deformación
• Mooney-Rivlin sólido
• Teoría de la deformación finita
• Medidas de estrés