Resultado de multiplicar cuatro instancias de un número entre sí
En aritmética y álgebra , la cuarta potencia de un número n es el resultado de multiplicar cuatro instancias de n entre sí. Por lo tanto:
- n 4 = n × n × n × n
Las cuartas potencias también se forman multiplicando un número por su cubo . Además, son cuadrados de cuadrados.
Algunas personas se refieren a n 4 como n “ teseracto ”, “ hipercubo ”, “ zenzizenzico ”, “ bicuadrado ” o “ supercubo ” en lugar de “a la potencia de 4”.
La secuencia de cuartas potencias de números enteros (también conocidos como bicuadrados o números teseracticos ) es:
- 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561, 38416, 50625, 65536, 83521, 104976, 130321, 160000, 194481, 234256, 279841, 331776, 390625, 456976, 531441, 614656, 707281, 810000, ... (secuencia A000583 en la OEIS ).
Propiedades
El último dígito de una cuarta potencia en decimal solo puede ser 0 (de hecho, 0000), 1, 5 (de hecho, 0625) o 6.
En hexadecimal, el último dígito distinto de cero de una cuarta potencia es siempre 1. [1]
Todo entero positivo puede expresarse como la suma de como máximo 19 cuartas potencias; todo entero mayor que 13792 puede expresarse como la suma de como máximo 16 cuartas potencias (véase el problema de Waring ).
Fermat sabía que una cuarta potencia no puede ser la suma de otras dos cuartas potencias (el caso n = 4 del Último Teorema de Fermat ; véase el Teorema del triángulo rectángulo de Fermat ). Euler conjeturó que una cuarta potencia no puede escribirse como la suma de tres cuartas potencias, pero 200 años después, en 1986, esto fue refutado por Elkies con:
- 20615673 4 = 18796760 4 + 15365639 4 + 2682440 4 .
Elkies demostró que hay infinitos otros contraejemplos para el exponente cuatro, algunos de los cuales son: [2]
- 2813001 4 = 2767624 4 + 1390400 4 + 673865 4 (Allan MacLeod)
- 8707481 4 = 8332208 4 + 5507880 4 + 1705575 4 (DJ Bernstein)
- 12197457 4 = 11289040 4 + 8282543 4 + 5870000 4 (DJ Bernstein)
- 16003017 4 = 14173720 4 + 12552200 4 + 4479031 4 (DJ Bernstein)
- 16430513 4 = 16281009 4 + 7028600 4 + 3642840 4 (DJ Bernstein)
- 422481 4 = 414560 4 + 217519 4 + 95800 4 (Roger Frye, 1988)
- 638523249 4 = 630662624 4 + 275156240 4 + 219076465 4 (Allan MacLeod, 1998)
Ecuaciones que contienen una cuarta potencia
Las ecuaciones de cuarto grado , que contienen un polinomio de cuarto grado (pero no superior), son, según el teorema de Abel-Ruffini , las ecuaciones de mayor grado que tienen una solución general utilizando radicales .
Véase también
Referencias
- ^ Una cuarta potencia impar es el cuadrado de un número cuadrado impar. Todos los cuadrados impares son congruentes con 1 módulo 8, y (8n+1) 2 = 64n2 + 16n + 1 = 16(4n2 + 1) + 1, lo que significa que todas las cuartas potencias son congruentes con 1 módulo 16. Las cuartas potencias pares (excluyendo el cero) son iguales a (2kn )4 = 16kn4 para algún entero positivo k y un entero impar n , lo que significa que una cuarta potencia par se puede representar como una cuarta potencia impar multiplicada por una potencia de 16.
- ^ Citado en Meyrignac, Jean-Charles (14 de febrero de 2001). «Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions» (Cálculo de sumas mínimas iguales de potencias iguales: soluciones más conocidas) . Consultado el 17 de julio de 2017 .
