En álgebra abstracta , el teorema del subgrupo focal describe la fusión de elementos en un subgrupo de Sylow de un grupo finito . El teorema del subgrupo focal fue introducido en (Higman 1953) y es la "primera aplicación importante de la transferencia" según (Gorenstein, Lyons y Solomon 1996, p. 90). El teorema del subgrupo focal relaciona las ideas de transferencia y fusión tal como las describe Otto Grün en (Grün 1936). Varias aplicaciones de estas ideas incluyen criterios locales para p -nilpotencia y varios criterios no simplistas centrados en demostrar que un grupo finito tiene un subgrupo normal de índice p .
El teorema del subgrupo focal relaciona varias líneas de investigación en la teoría de grupos finitos: subgrupos normales de índice a potencia de p , el homomorfismo de transferencia y la fusión de elementos.
Los tres subgrupos normales siguientes de índice a potencia de p están definidos de forma natural y surgen como los subgrupos normales más pequeños cuyo cociente es (un cierto tipo de) p -grupo. Formalmente, son núcleos de la reflexión sobre la subcategoría reflexiva de p -grupos (respectivamente, p -grupos abelianos elementales, p -grupos abelianos).
En primer lugar, como estas son condiciones más débiles en los grupos K, se obtienen las contenciones. Estas se relacionan además como:
O p ( G ) tiene la siguiente caracterización alternativa como el subgrupo generado por todos los q -subgrupos de Sylow de G cuando q ≠ p abarca los divisores primos del orden de G distintos de p .
O p ( G ) se utiliza para definir la serie p inferiorde G , de manera similar a la serie p superior descrita en p-core .
El homomorfismo de transferencia es un homomorfismo que se puede definir desde cualquier grupo G hasta el grupo abeliano H /[ H , H ] definido por un subgrupo H ≤ G de índice finito , es decir [ G : H ] < ∞. La función de transferencia desde un grupo finito G hacia su p -subgrupo de Sylow tiene un núcleo que es fácil de describir:
En otras palabras, el homomorfismo "obvio" sobre un p -grupo abeliano es de hecho el homomorfismo más general.
El patrón de fusión de un subgrupo H en G es la relación de equivalencia sobre los elementos de H donde dos elementos h , k de H están fusionados si son G -conjugados, es decir, si hay algún g en G tal que h = k g . La estructura normal de G tiene un efecto sobre el patrón de fusión de sus p -subgrupos de Sylow, y a la inversa, el patrón de fusión de sus p -subgrupos de Sylow tiene un efecto sobre la estructura normal de G , (Gorenstein, Lyons y Solomon 1996, p. 89).
Se puede definir, como en (Isaacs 2008, p. 165) el subgrupo focal de H con respecto a G como:
Este subgrupo focal mide el grado en el que los elementos de H se fusionan en G , mientras que la definición anterior medía ciertas imágenes homomórficas del p -grupo abeliano del grupo G . El contenido del teorema del subgrupo focal es que estas dos definiciones de subgrupo focal son compatibles.
(Gorenstein 1980, p. 246) muestra que el subgrupo focal de P en G es la intersección P ∩[ G , G ] del p -subgrupo de Sylow P del grupo finito G con el subgrupo derivado [ G , G ] de G . El subgrupo focal es importante ya que es un p -subgrupo de Sylow del subgrupo derivado. También se obtiene el siguiente resultado:
El subgrupo focal de un grupo finito G con p -subgrupo P de Sylow viene dado por:
donde v es el homomorfismo de transferencia de G a P /[ P , P ], (Isaacs 2008, Teorema 5.21, p. 165).
Esta conexión entre transferencia y fusión se le atribuye a (Higman 1953), [1] donde, en un lenguaje diferente, se demostró el teorema del subgrupo focal junto con varias generalizaciones. Se eliminó el requisito de que G / K fuera abeliano, de modo que Higman también estudió O p ( G ) y el residuo nilpotente γ ∞ ( G ), como los llamados subgrupos hiperfocales . Higman tampoco se restringió a un solo primo p , sino que permitió π -grupos para conjuntos de primos π y utilizó el teorema de subgrupos de Hall de Philip Hall para demostrar resultados similares sobre la transferencia en π -subgrupos de Hall; tomando π = { p } un π -subgrupo de Hall es un p -subgrupo de Sylow, y los resultados de Higman son como se presentaron anteriormente.
El interés en los subgrupos hiperfocales fue renovado por el trabajo de (Puig 2000) en la comprensión de la teoría de representación modular de ciertos bloques bien comportados. El subgrupo hiperfocal de P en G puede definirse como P ∩γ ∞ ( G ) es decir, como un p -subgrupo de Sylow del residuo nilpotente de G . Si P es un p -subgrupo de Sylow del grupo finito G , entonces se obtiene el teorema estándar del subgrupo focal:
y la caracterización local:
Esto se compara con la caracterización local del subgrupo focal como:
Puig está interesado en la generalización de esta situación a los sistemas de fusión , un modelo categórico del patrón de fusión de un p -subgrupo de Sylow con respecto a un grupo finito que también modela el patrón de fusión de un grupo de defectos de un p -bloque en la teoría de representación modular. De hecho, los sistemas de fusión han encontrado una serie de aplicaciones e inspiraciones sorprendentes en el área de la topología algebraica conocida como teoría de homotopía equivariante . Algunos de los principales teoremas algebraicos en esta área solo tienen demostraciones topológicas por el momento.
Diversos matemáticos han presentado métodos para calcular el subgrupo focal a partir de grupos más pequeños. Por ejemplo, el influyente trabajo (Alperin 1967) desarrolla la idea de un control local de la fusión y, como ejemplo de aplicación, muestra que:
La elección de la familia C se puede hacer de muchas maneras ( C es lo que se llama una "familia de conjugación débil" en (Alperin 1967)), y se dan varios ejemplos: uno puede tomar C como todos los subgrupos no identidad de P , o la elección más pequeña de solo las intersecciones Q = P ∩ P g para g en G en la que N P ( Q ) y N P g ( Q ) son ambos p -subgrupos de Sylow de N G ( Q ). La última elección se hace en (Gorenstein 1980, Teorema 7.4.1, p. 251). El trabajo de (Grün 1936) también estudió aspectos de la transferencia y la fusión, lo que resultó en el primer teorema de Grün :
Las presentaciones de libros de texto en (Rose 1978, pp. 254–264), (Isaacs 2008, Capítulo 5), (Hall 1959, Capítulo 14), (Suzuki 1986, §5.2, pp. 138–165), contienen todas varias aplicaciones del teorema del subgrupo focal que relaciona la fusión, la transferencia y un cierto tipo de división llamada p -nilpotencia .
En el curso del teorema de Alperin–Brauer–Gorenstein que clasifica grupos finitos simples con 2-subgrupos de Sylow cuasi-diédricos , se hace necesario distinguir cuatro tipos de grupos con 2-subgrupos de Sylow cuasi-diédricos: los grupos 2-nilpotentes, los grupos de tipo Q cuyo subgrupo focal es un grupo de cuaterniones generalizado de índice 2, los grupos de tipo D cuyo subgrupo focal es un grupo diedro de índice 2, y los grupos de tipo QD cuyo subgrupo focal es el grupo cuasi-diédrico entero. En términos de fusión, los grupos 2-nilpotentes tienen 2 clases de involuciones, y 2 clases de subgrupos cíclicos de orden 4; los de tipo Q tienen 2 clases de involuciones y una clase de subgrupo cíclico de orden 4; Los QD tienen una clase de involuciones y una clase de subgrupos cíclicos de orden 4. En otras palabras, los grupos finitos con 2-subgrupos de Sylow cuasi-diédricos pueden clasificarse según su subgrupo focal o, equivalentemente, según sus patrones de fusión. Las listas explícitas de grupos con cada patrón de fusión se encuentran en (Alperin, Brauer y Gorenstein 1970).
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