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Operación quirúrgica en programa de modelo mínimo

En geometría algebraica , los flips y flops son operaciones de cirugía de codimensión 2 que surgen en el programa de modelo mínimo , dado por la explosión a lo largo de un anillo canónico relativo . En dimensión 3, los flips se utilizan para construir modelos mínimos, y dos modelos mínimos biracionalmente equivalentes cualesquiera están conectados por una secuencia de flops. Se conjetura que lo mismo es cierto en dimensiones superiores.

El programa modelo mínimo

El programa del modelo mínimo se puede resumir muy brevemente de la siguiente manera: dada una variedad , construimos una secuencia de contracciones , cada una de las cuales contrae algunas curvas en las que el divisor canónico es negativo. Finalmente, debería convertirse en nef (al menos en el caso de la dimensión Kodaira no negativa ), que es el resultado deseado. El principal problema técnico es que, en algún momento, la variedad puede volverse "demasiado singular", en el sentido de que el divisor canónico ya no es un divisor de Cartier , por lo que el número de intersección con una curva ni siquiera está definido. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=X_{1}\rightarrow X_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{n}}$ ${\displaystyle K_{X_{i}}}$ ${\displaystyle K_{X_{n}}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle K_{X_{i}}}$ ${\displaystyle K_{X_{i}}\cdot C}$ ${\displaystyle C}$

La solución (conjetural) a este problema es la inversión de . Dada una problemática como la anterior, la inversión de es una función birracional (de hecho, un isomorfismo en la codimensión 1) a una variedad cuyas singularidades son 'mejores' que las de . Por lo tanto, podemos poner , y continuar el proceso. ^[1] ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle f\colon X_{i}\rightarrow X_{i}^{+}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i+1}=X_{i}^{+}}$

Dos de los principales problemas relacionados con los flips son demostrar que existen y demostrar que no puede haber una secuencia infinita de flips. Si ambos problemas pueden resolverse, entonces puede llevarse a cabo el programa modelo mínimo. La existencia de flips para 3-folds fue probada por Mori (1988). La existencia de log flips, un tipo más general de flip, en dimensión tres y cuatro fue probada por Shokurov (1993, 2003), cuyo trabajo fue fundamental para la solución de la existencia de log flips y otros problemas en dimensiones superiores. La existencia de log flips en dimensiones superiores ha sido resuelta por (Caucher Birkar, Paolo Cascini y Christopher D. Hacon et al. 2010). Por otro lado, el problema de la terminación (probar que no puede haber una secuencia infinita de flips) sigue abierto en dimensiones mayores que 3.

Definición

Si es un morfismo, y K es el fibrado canónico de X , entonces el anillo canónico relativo de f es ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle \bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK))}$

y es un haz de álgebras graduadas sobre el haz de funciones regulares en Y . La ampliación ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$

${\displaystyle f^{+}\colon X^{+}=\operatorname {Proj} {\big (}\bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK)){\big )}\to Y}$

de Y a lo largo del anillo canónico relativo es un morfismo a Y . Si el anillo canónico relativo se genera finitamente (como un álgebra sobre ), entonces el morfismo se llama flip de si es relativamente amplio, y flop de si K es relativamente trivial. (A veces, el morfismo biracional inducido de a se llama flip o flop). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$

En las aplicaciones, suele ser una pequeña contracción de un rayo extremal, lo que implica varias propiedades adicionales: ${\displaystyle f}$

• Los conjuntos excepcionales de ambos mapas tienen codimensión al menos 2, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{+}}$
• ${\displaystyle X}$y sólo tienen singularidades leves, como singularidades terminales . ${\displaystyle X^{+}}$
• ${\displaystyle f}$y son morfismos biracionales sobre Y , que es normal y proyectivo. ${\displaystyle f^{+}}$
• Todas las curvas de las fibras de y son numéricamente proporcionales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{+}}$

Ejemplos

El primer ejemplo de un flop, conocido como el flop de Atiyah , se encontró en (Atiyah 1958). Sea Y los ceros de en , y sea V la explosión de Y en el origen. El lugar geométrico excepcional de esta explosión es isomorfo a , y puede reducirse a de dos maneras diferentes, dando variedades y . La función birracional natural de a es el flop de Atiyah. ${\displaystyle xy=zw}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Reid (1983) introdujo la pagoda de Reid , una generalización del flop de Atiyah que reemplaza Y por los ceros de . ${\displaystyle xy=(z+w^{k})(z-w^{k})}$

Referencias

1. Más precisamente, hay una conjetura que establece que cada secuencia ⇢ ⇢ ⇢ ⇢ de lanzamientos de variedades con singularidades terminales del registro de Kawamata, proyectivas sobre una variedad normal fija, termina después de un número finito de pasos. ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle Z}$

• Atiyah, Michael Francis (1958), "Sobre superficies analíticas con puntos dobles", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería , 247 (1249): 237–244, Bibcode :1958RSPSA.247..237A, doi :10.1098/rspa.1958.0181, MR  0095974
• Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D. ; McKernan, James (2010), "Existencia de modelos mínimos para variedades de tipo general logarítmico", Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode :2010JAMS...23..405B, doi :10.1090/S0894-0347-09-00649-3, ISSN  0894-0347, MR  2601039
• Corti, Alessio (diciembre de 2004), "¿Qué es... un cambio de dirección?" ( PDF ) , Notices of the American Mathematical Society , 51 (11): 1350–1351 , consultado el 17 de enero de 2008
• Kollár, János (1991), "Flip and flop", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I, II (Kioto, 1990) , Tokio: Math. Soc. Japón, págs. 709–714, MR  1159257
• Kollár, János (1991), "Cambios, fracasos, modelos mínimos, etc.", Surveys in Differential geometry (Cambridge, MA, 1990) , Bethlehem, PA: Lehigh Univ., págs. 113–199, MR  1144527
• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , ISBN 0-521-63277-3
• Matsuki, Kenji (2002), Introducción al programa Mori , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98465-0, Sr.  1875410
• Mori, Shigefumi (1988), "Teorema de inversión y existencia de modelos mínimos para 3 pliegues", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 117–253, doi : 10.1090/s0894-0347-1988-0924704-x , JSTOR  1990969, MR  0924704
• Morrison, David (2005), Flops, flips, and matrix factorization (PDF) , Geometría algebraica y más allá, RIMS, Universidad de Kioto
• Reid, Miles (1983), "Modelos mínimos de pliegues canónicos", Variedades algebraicas y variedades analíticas (Tokio, 1981) , Adv. Stud. Pure Math., vol. 1, Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 131–180, MR  0715649 ${\displaystyle 3}$
• Shokurov, Vyacheslav V. (1993), Vueltas de logaritmos tridimensionales. Con un apéndice en inglés de Yujiro Kawamata , vol. 1, Russian Acad. Sci. Izv. Math. 40, págs. 95–202.
• Shokurov, Vyacheslav V. (2003), Giros previos , Proc. Instituto Steklov. Matemáticas. 240, págs. 75-213.