En geometría , los flexágonos son modelos planos , generalmente construidos doblando tiras de papel, que se pueden flexionar o doblar de cierta manera para revelar caras además de las dos que estaban originalmente en la parte posterior y frontal.
Los flexágonos suelen ser cuadrados o rectangulares ( tetraflexágonos ) o hexagonales ( hexaflexágonos ). Se puede agregar un prefijo al nombre para indicar la cantidad de caras que el modelo puede mostrar, incluidas las dos caras (posterior y frontal) que son visibles antes de flexionarse. Por ejemplo, un hexaflexágono con un total de seis caras se llama hexahexaflexágono .
En la teoría del hexaflexágono (es decir, en relación con los flexágonos con seis lados), los flexágonos generalmente se definen en términos de palmaditas . [1] [2]
Dos flexágonos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una serie de pellizcos y rotaciones. La equivalencia del flexágono es una relación de equivalencia . [1]
El descubrimiento del primer flexágono, un trihexaflexágono, se atribuye al matemático británico Arthur H. Stone , mientras estudiaba en la Universidad de Princeton en Estados Unidos en 1939. Su nuevo artículo americano no cabía en su carpeta inglesa, por lo que cortó el extremos del papel y comencé a doblarlos en diferentes formas. [3] Uno de ellos formó un trihexaflexágono. Los colegas de Stone , Bryant Tuckerman , Richard Feynman y John Tukey, se interesaron en la idea y formaron el Comité Princeton Flexagon. Tuckerman desarrolló un método topológico , llamado recorrido de Tuckerman, para revelar todas las caras de un flexágono. [4] Las travesías de Tuckerman se muestran como un diagrama que asigna cada cara del flexágono entre sí. Al hacerlo, se dio cuenta de que no todos los rostros aparecen siempre en el mismo estado.
Los flexágonos fueron presentados al público en general por Martin Gardner en la edición de diciembre de 1956 de Scientific American en un artículo tan bien recibido que lanzó la columna "Juegos matemáticos" de Gardner que luego se publicó en esa revista durante los siguientes veinticinco años. [3] [5] En 1974, el mago Doug Henning incluyó un hexaflexágono de construcción propia con la grabación del elenco original de su espectáculo de Broadway The Magic Show .
En 1955, Russell Rogers y Leonard D'Andrea de Homestead Park, Pensilvania, solicitaron una patente y en 1959 se les concedió la patente estadounidense número 2.883.195 para el hexahexaflexágono, bajo el título "Dispositivos de entretenimiento intercambiables y similares".
Su patente imaginaba posibles aplicaciones del dispositivo "como juguete, como dispositivo de visualización publicitaria o como dispositivo geométrico educativo". [6] Algunas de estas novedades fueron producidas por Herbick & Held Printing Company , la imprenta de Pittsburgh donde trabajaba Rogers, pero el dispositivo, comercializado como "Hexmo", no tuvo éxito.
El tritetraflexágono es el tetraflexágono más simple (flexágono con lados cuadrados ). El "tri" en el nombre significa que tiene tres caras, dos de las cuales son visibles en cualquier momento si se presiona el flexágono para que quede plano. La construcción del tritetraflexágono es similar al mecanismo utilizado en el tradicional juguete infantil La Escalera de Jacob , en la Magia de Rubik y en el truco de la billetera mágica o la billetera Himber .
El tritetraflexágono tiene dos callejones sin salida, donde no se puede flexionar hacia adelante. Para llegar a otra cara debes flexionar hacia atrás o voltear el flexágono.
Un hexatetraflexágono cíclico más complicado no requiere pegado. Un hexatetraflexágono cíclico no tiene "callejones sin salida", pero la persona que lo hace puede seguir doblándolo hasta llegar a la posición inicial. Si durante el proceso se colorean los lados, los estados se pueden ver más claramente.
A diferencia del tritetraflexágono, el hexatetraflexágono no tiene callejones sin salida y nunca es necesario flexionarlo hacia atrás.
Los hexaflexágonos son de gran variedad y se distinguen por el número de caras que se pueden conseguir flexionando la figura ensamblada. (Tenga en cuenta que la palabra hexaflexágonos [sin prefijos] a veces puede referirse a un hexahexaflexágono ordinario, con seis lados en lugar de otros números).
Un hexaflexágono de tres caras es el más sencillo de realizar y gestionar de los hexaflexágonos, y está formado por una única tira de papel, dividida en nueve triángulos equiláteros. (Algunos patrones proporcionan diez triángulos, dos de los cuales se pegan en el ensamblaje final).
Para ensamblar, la tira se dobla cada tercer triángulo, uniéndose a sí misma después de tres inversiones, a la manera del símbolo internacional de reciclaje . Se forma así una tira de Möbius cuyo único borde forma un nudo trébol .
Este hexaflexágono tiene seis caras. Se compone de diecinueve triángulos doblados a partir de una tira de papel.
Una vez plegadas, las caras 1, 2 y 3 son más fáciles de encontrar que las caras 4, 5 y 6.
Una forma sencilla de exponer las seis caras es utilizar la travesía de Tuckerman, que lleva el nombre de Bryant Tuckerman, uno de los primeros en investigar las propiedades de los hexaflexágonos. La travesía de Tuckerman implica la flexión repetida pellizcando una esquina y flexionando exactamente desde la misma esquina cada vez. Si la esquina se niega a abrirse, muévase a una esquina adyacente y siga flexionando. Este procedimiento lo lleva a un ciclo de 12 caras. Sin embargo, durante este procedimiento, 1, 2 y 3 aparecen tres veces más frecuentemente que 4, 5 y 6. El ciclo se desarrolla de la siguiente manera:
Y luego de nuevo a 1.
Cada color/rostro también puede exponerse de más de una manera. En la figura 6, por ejemplo, cada triángulo azul tiene en el centro su esquina decorada con una cuña, pero también es posible, por ejemplo, hacer que los decorados con Y vengan al centro. Hay 18 configuraciones posibles para triángulos con diferentes colores, y se pueden ver flexionando el hexahexaflexágono de todas las formas posibles en teoría, pero solo 15 pueden ser flexionadas por el hexahexaflexágono ordinario. Las 3 configuraciones adicionales son imposibles debido a la disposición de las 4, 5 y 6 fichas en la solapa trasera. (Los ángulos de 60 grados en los rombos formados por las 4, 5 o 6 fichas adyacentes solo aparecerán en los lados y nunca aparecerán en el centro porque requeriría cortar la tira, lo cual está topológicamente prohibido).
Los hexahexaflexágonos se pueden construir a partir de redes de dieciocho triángulos equiláteros de diferentes formas. Un hexahexaflexágono, construido a partir de una tira de papel irregular, es casi idéntico al que se muestra arriba, excepto que en esta versión se pueden flexionar las 18 configuraciones.
Si bien los hexaflexágonos que se ven con más frecuencia tienen tres o seis caras, existen variaciones con cualquier número de caras. Las tiras rectas producen hexaflexágonos con un número de caras múltiplo de tres. Otros números se obtienen a partir de tiras no rectas, que son simplemente tiras rectas con algunas uniones dobladas, eliminando algunas caras. Muchas tiras se pueden plegar de diferentes maneras, produciendo diferentes hexaflexágonos, con diferentes mapas de plegado.
En estos flexágonos descubiertos más recientemente, cada cara cuadrada o triangular equilátera de un flexágono convencional se divide en dos triángulos rectángulos, lo que permite modos de flexión adicionales. [7] La división de las caras cuadradas de los tetraflexágonos en triángulos isósceles rectángulos produce los octaflexágonos, [8] y la división de las caras triangulares de los hexaflexágonos en 30-60-90 triángulos rectángulos produce los dodecaflexágonos. [9]
En su estado plano, el pentaflexágono se parece mucho al logotipo de Chrysler : un pentágono regular dividido desde el centro en cinco triángulos isósceles , con ángulos 72–54–54. Debido a su simetría quíntuple, el pentaflexágono no se puede doblar por la mitad. Sin embargo, una serie compleja de flexiones da como resultado su transformación de mostrar los lados uno y dos en el frente y la parte posterior, a mostrar sus lados tres y cuatro previamente ocultos. [10]
Al dividir aún más los 72-54-54 triángulos del pentaflexágono en 36-54-90 triángulos rectángulos se produce una variación del decaflexágono de 10 lados. [11]
El pentaflexágono forma parte de una secuencia infinita de flexágonos basada en dividir un n -gón regular en n triángulos isósceles. Otros flexágonos incluyen el heptaflexágono, [12] el octaflexágono isósceles, [13] el eneaflexágono, [14] y otros.
Harold V. McIntosh también describe flexágonos "no planos" (es decir, aquellos que no pueden flexionarse por lo que quedan planos); los plegados a partir de pentágonos llamados pentaflexágonos , [15] y de heptágonos llamados heptaflexágonos . [16] Estos deben distinguirse de los pentaflexágonos y heptaflexágonos "ordinarios" descritos anteriormente, que están hechos de triángulos isósceles y se pueden hacer para que queden planos.
Los flexágonos también son una estructura de libro popular utilizada por creadores de libros de artista como Julie Chen ( Life Cycle ) y Edward H. Hutchins ( Álbum y Voces de México ). Las instrucciones para hacer tetra-tetra-flexágono y flexágono cruzado se incluyen en Cómo hacer libros hechos a mano: más de 100 encuadernaciones, estructuras y formas de Alisa Golden. [17]
Un hexaflexágono de alto orden se utilizó como elemento argumental en la novela 0X de Piers Anthony , en la que un flex era análogo al viaje entre universos alternativos. [18]
Vi Hart , una conocida matemática recreativa y educadora pública, llamó la atención por su vídeo sobre hexaflexágonos.
