Método de volumen finito para flujo inestable

Los flujos inestables se caracterizan por ser flujos en los que las propiedades del fluido dependen del tiempo. Esto se refleja en las ecuaciones que lo rigen, ya que no existe la derivada temporal de las propiedades. Para estudiar el método de volumen finito para flujos inestables existen algunas ecuaciones que lo rigen ^[1] >

Ecuación gobernante

La ecuación de conservación para el transporte de un escalar en flujo inestable tiene la forma general como ^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)=\operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)+S_{\phi }}$

${\displaystyle \rho }$es la densidad y es la forma conservativa de todo flujo de fluido, es el coeficiente de difusión y es el término fuente. es la tasa neta de flujo de salida del elemento fluido ( convección ), es la tasa de aumento de debido a la difusión , es la tasa de aumento de debido a las fuentes. ${\displaystyle \phi }$
${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)}$ ${\displaystyle \phi }$
${\displaystyle \operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)}$ ${\displaystyle \phi }$
${\displaystyle S_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}}$es la tasa de aumento del elemento fluido (transitorio), ${\displaystyle \phi }$

El primer término de la ecuación refleja la inestabilidad del flujo y no existe en el caso de flujos estables. La integración de volumen finito de la ecuación reguladora se lleva a cabo sobre un volumen de control y también sobre un paso de tiempo finito ∆t.

${\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left({\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n.{\rho \phi u}\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n\cdot \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S_{\phi }\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}$

La integración del volumen de control de la parte estacionaria de la ecuación es similar a la integración de la ecuación que gobierna el estado estacionario . Necesitamos centrarnos en la integración del componente inestable de la ecuación. Para tener una idea de la técnica de integración, nos referimos a la ecuación unidimensional de conducción de calor inestable. ^[3]

${\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {k\partial T}{\partial x}}+S}$

${\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {k\partial T}{\partial x}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \int _{e}^{w}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{e}-\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{w}\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t}$

Ahora, manteniendo el supuesto de que la temperatura en el nodo prevalece en todo el volumen de control, el lado izquierdo de la ecuación se puede escribir como ^[4]

${\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{O}\right)\Delta V}$

Al utilizar un esquema de diferenciación hacia atrás de primer orden , podemos escribir el lado derecho de la ecuación como

${\displaystyle \rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)\Delta V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(K_{e}A{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}A{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t}$

Ahora, para evaluar el lado derecho de la ecuación, usamos un parámetro de ponderación entre 0 y 1, y escribimos la integración de ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T_{P}}$

${\displaystyle I_{T}=\int _{t}^{t+\Delta t}T_{P}\,\mathrm {d} t=\left[\theta T_{P}+\left(1-\theta \right){T_{P}}^{0}\right]\Delta t}$

Ahora bien, la forma exacta de la ecuación discretizada final depende del valor de . Como la varianza de es 0< <1, el esquema que se utilizará para calcular depende del valor de . Por lo tanto, ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \rho c{\frac {\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)}{\Delta t}}\Delta x=\theta [\left(K_{e}{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)]+(1-\theta )[\left(K_{e}{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)]+{\bar {S}}\Delta x}$

Diferentes esquemas

1. Esquema explícito En el esquema explícito, el término fuente se linealiza como . Sustituimos para obtener la discretización explícita, es decir: ^[5] ${\displaystyle b=S_{u}+{S_{P}}{T_{P}}^{0}}$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{w}{T_{w}}^{0}+a_{e}{T_{e}}^{0}+\left[{a_{P}}^{0}-\left(a_{w}+a_{e}-S_{P}\right)\right]{T_{P}}^{0}+S_{u}}$

donde . Una cosa que vale la pena señalar es que el lado derecho contiene valores en el paso de tiempo anterior y, por lo tanto, el lado izquierdo se puede calcular mediante la comparación hacia adelante en el tiempo. El esquema se basa en la diferenciación hacia atrás y su error de truncamiento de la serie de Taylor es de primer orden con respecto al tiempo. Todos los coeficientes deben ser positivos. Para k constante y espaciado de cuadrícula uniforme, esta condición se puede escribir como ${\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}}$ ${\displaystyle \delta x_{PE}=\delta x_{WP}=\Delta x}$

${\displaystyle \rho c{\frac {\Delta x}{\Delta t}}>{\frac {2K}{\Delta x}}}$

Esta desigualdad establece una condición estricta sobre el paso de tiempo máximo que se puede utilizar y representa una limitación grave para el esquema. Resulta muy costoso mejorar la precisión espacial porque el paso de tiempo máximo posible debe reducirse al cuadrado de ^[6]. ${\displaystyle \Delta x}$

2. Esquema de Crank-Nicolson  : el método de Crank-Nicolson resulta de establecer . La ecuación de conducción de calor no estacionaria discretizada se convierte en ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{E}\left[{\frac {T_{E}+{T_{E}}^{0}}{2}}\right]+a_{W}\left[{\frac {T_{W}+{T_{W}}^{0}}{2}}\right]+\left[{a_{P}}^{0}-{\frac {a_{E}}{2}}-{\frac {a_{W}}{2}}\right]{T_{P}}^{0}+b}$

Dónde ${\displaystyle a_{P}={\frac {a_{W}+a_{E}}{2}}+{a_{P}}^{0}-{\frac {S_{P}}{2}}}$

Dado que en la ecuación hay más de un valor desconocido de T en el nuevo nivel de tiempo, el método es implícito y es necesario resolver ecuaciones simultáneas para todos los puntos de nodo en cada paso de tiempo. Aunque los esquemas que incluyen el esquema de Crank-Nicolson son incondicionalmente estables para todos los valores del paso de tiempo, es más importante garantizar que todos los coeficientes sean positivos para obtener resultados físicamente realistas y acotados. Este es el caso si el coeficiente de satisface la siguiente condición ${\displaystyle {\frac {1}{2}}<\theta <1}$ ${\displaystyle {T_{P}}^{0}}$

${\displaystyle {a_{P}}^{0}=\left[{\frac {a_{E}+a_{W}}{2}}\right]}$

Lo que conduce a

${\displaystyle \Delta t<\rho c{\frac {\Delta x^{2}}{K}}}$

El método Crank-Nicolson se basa en la diferenciación central y, por lo tanto, tiene una precisión de segundo orden en el tiempo. La precisión general de un cálculo depende también de la práctica de diferenciación espacial, por lo que el esquema Crank-Nicolson se utiliza normalmente junto con la diferenciación central espacial.

3. Esquema completamente implícito: cuando el valor de Ѳ se establece en 1, obtenemos el esquema completamente implícito. La ecuación discretizada es: ^[7]

${\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{W}T_{W}+a_{E}T_{E}+{a_{P}}^{0}{T_{P}}^{0}+S_{u}}$

${\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}+a_{W}+a_{E}-S_{P}}$

Ambos lados de la ecuación contienen temperaturas en el nuevo paso de tiempo, y se debe resolver un sistema de ecuaciones algebraicas en cada nivel de tiempo. El procedimiento de marcha temporal comienza con un campo inicial dado de temperaturas . El sistema de ecuaciones se resuelve después de seleccionar el paso de tiempo . A continuación, se asigna la solución a y se repite el procedimiento para avanzar la solución en un paso de tiempo adicional. Se puede ver que todos los coeficientes son positivos, lo que hace que el esquema implícito sea incondicionalmente estable para cualquier tamaño de paso de tiempo. Dado que la precisión del esquema es solo de primer orden en el tiempo, se necesitan pequeños pasos de tiempo para garantizar la precisión de los resultados. El método implícito se recomienda para cálculos transitorios de propósito general debido a su robustez y estabilidad incondicional. ${\displaystyle T^{0}}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{0}}$

Referencias

1. https://books.google.com/books+finite+volume+method+for+unsteady+flows . Consultado el 10 de noviembre de 2013 . {{cite web}}: Falta o está vacío |title=( ayuda ) ^{[ enlace roto ]}
2. Introducción a la dinámica de fluidos computacional HK Versteeg y W Malalasekra Capítulo 8 página 168
3. Introducción a la dinámica de fluidos computacional HK Versteeg y W Malalasekera Capítulo 8 página 169
4. Kim, Dongjoo; Choi, Haecheon (10 de agosto de 2000). "Un método de volumen finito de segundo orden con precisión temporal para flujo incompresible inestable en cuadrículas híbridas no estructuradas". Journal of Computational Physics . 162 (2): 411–428. Bibcode :2000JCoPh.162..411K. doi :10.1006/jcph.2000.6546.
5. Introducción a la dinámica de fluidos computacional HK Versteeg y W Malalasekera Capítulo 8 página 171
6. http://opencourses.emu.edu.tr/mod/resource/view.php?id=489 tema 7
7. http://opencourses.emu.edu.tr/course/view.php?id=27&lang=es tema 7