Filtro elíptico

Filtro de procesamiento de señal

Un filtro elíptico (también conocido como filtro Cauer , llamado así en honor a Wilhelm Cauer , o como filtro Zolotarev , en honor a Yegor Zolotarev ) es un filtro de procesamiento de señales con comportamiento de ondulación (equiripple) ecualizada tanto en la banda de paso como en la banda de parada . La cantidad de ondulación en cada banda se puede ajustar de forma independiente, y ningún otro filtro de igual orden puede tener una transición de ganancia más rápida entre la banda de paso y la banda de parada , para los valores de ondulación dados (ya sea que la ondulación esté ecualizada o no). ^{[ cita necesaria ]} Alternativamente, se puede renunciar a la capacidad de ajustar de forma independiente la banda de paso y la ondulación de la banda de parada y, en su lugar, diseñar un filtro que sea lo más insensible a las variaciones de los componentes.

A medida que la ondulación en la banda de parada se acerca a cero, el filtro se convierte en un filtro Chebyshev tipo I. A medida que la ondulación en la banda de paso se acerca a cero, el filtro se convierte en un filtro Chebyshev tipo II y finalmente, cuando ambos valores de ondulación se acercan a cero, el filtro se convierte en un filtro Butterworth .

La ganancia de un filtro elíptico de paso bajo en función de la frecuencia angular ω viene dada por:

${\displaystyle G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}}$

donde R _n es la función racional elíptica de orden n (a veces conocida como función racional de Chebyshev) y

${\displaystyle \omega _{0}}$ es la frecuencia de corte

${\displaystyle \epsilon }$es el factor de ondulación

${\displaystyle \xi }$es el factor de selectividad

El valor del factor de ondulación especifica la ondulación de la banda de paso, mientras que la combinación del factor de ondulación y el factor de selectividad especifica la ondulación de la banda de parada.

Propiedades

La respuesta de frecuencia de un filtro de paso bajo elíptico de cuarto orden con ε  = 0,5 y ξ  = 1,05. También se muestran la ganancia mínima en la banda de paso y la ganancia máxima en la banda de parada, y la región de transición entre la frecuencia normalizada 1 y ξ.

Un primer plano de la región de transición del gráfico anterior.

• En la banda de paso, la función racional elíptica varía entre cero y la unidad. Por tanto, la ganancia de la banda de paso variará entre 1 y . ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$
• En la banda de parada, la función racional elíptica varía entre el infinito y el factor de discriminación que se define como: ${\displaystyle L_{n}}$

${\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,}$

Por tanto, la ganancia de la banda de parada variará entre 0 y . ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}}$

• En el límite de la función racional elíptica se convierte en un polinomio de Chebyshev , y por tanto el filtro se convierte en un filtro de Chebyshev tipo I , con factor de ondulación ε ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$
• Dado que el filtro Butterworth es una forma limitante del filtro Chebyshev, se deduce que en el límite de , y tal que el filtro se convierte en un filtro Butterworth ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1}$
• En el límite de , y tal que y , el filtro se convierte en un filtro Chebyshev tipo II con ganancia ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \xi \omega _{0}=1}$ ${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}$

Polos y ceros

Registro del valor absoluto de la ganancia de un filtro elíptico de octavo orden en un espacio de frecuencia complejo (s = σ + jω) con ε = 0,5, ξ = 1,05 y ω ₀ = 1. Los puntos blancos son polos y los puntos negros son ceros . Hay un total de 16 polos y 8 ceros dobles. Lo que parece ser un polo único y un cero cerca de la región de transición son en realidad cuatro polos y dos ceros dobles, como se muestra en la vista ampliada a continuación. En esta imagen, el negro corresponde a una ganancia de 0,0001 o menos y el blanco corresponde a una ganancia de 10 o más.

Una vista ampliada en la región de transición de la imagen de arriba, resolviendo los cuatro polos y dos ceros dobles.

Los ceros de la ganancia de un filtro elíptico coincidirán con los polos de la función racional elíptica, que se derivan en el artículo sobre funciones racionales elípticas .

Los polos de la ganancia de un filtro elíptico se pueden derivar de una manera muy similar a la derivación de los polos de la ganancia de un filtro Chebyshev tipo I. Por simplicidad, supongamos que la frecuencia de corte es igual a la unidad. Los polos de la ganancia del filtro elíptico serán los ceros del denominador de la ganancia. Usando la frecuencia compleja esto significa que: ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,}$

Definiendo dónde cd() es la función coseno elíptica de Jacobi y utilizando la definición de las funciones elípticas racionales se obtiene: ${\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )}$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,}$

dónde y . Resolviendo para w ${\displaystyle K=K(1/\xi )}$ ${\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}$

${\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}}$

donde los múltiples valores de la función inversa cd() se hacen explícitos utilizando el índice entero m .

Los polos de la función de ganancia elíptica son entonces:

${\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,}$

Como es el caso de los polinomios de Chebyshev, esto puede expresarse en forma explícitamente compleja (Lutovac & et al. 2001, § 12.8).

${\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}}$

${\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}}$

${\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}}$

donde es una función de y y son los ceros de la función racional elíptica. es expresable para todo n en términos de funciones elípticas de Jacobi, o algebraicamente para algunos órdenes, especialmente los órdenes 1, 2 y 3. Para los órdenes 1 y 2 tenemos ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n,\,\epsilon }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}}$

${\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}}$

dónde

${\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$

La expresión algebraica para es bastante complicada (véase Lutovac & et al. (2001, § 12.8.1)). ${\displaystyle \zeta _{3}}$

La propiedad de anidamiento de las funciones racionales elípticas se puede utilizar para construir expresiones de orden superior para : ${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)}$

dónde . ${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )}$

Pedido mínimo

Para diseñar un filtro elíptico utilizando el número mínimo requerido de elementos, el orden mínimo del filtro elíptico se puede calcular con integrales elípticas de la siguiente manera. ^[1] Las ecuaciones tienen en cuenta únicamente los filtros elípticos de paso bajo estándar. Incluso las modificaciones de orden introducirán errores que las ecuaciones no tienen en cuenta.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&={\sqrt {\frac {10^{\alpha _{p}/10}-1}{10^{\alpha _{s}/10}-1}}}\\\tau _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\\X_{1}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{1}\\X_{1}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{1}^{2}}}\\X_{2}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{2}\\X_{2}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{2}^{2}}}\\n&=ceil{\bigg [}{\frac {X_{1}'X_{2}}{X_{1}X_{2}'}}{\bigg ]}\\\end{aligned}}}$

Los cálculos de integrales elípticas pueden eliminarse con el uso de la siguiente expresión. ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\text{ the selectivity factor }}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}{\text{ (same as }}\tau _{2}{\text{ above)}}\\u&={\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{2(1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}})}}\\q&=u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\D&={\frac {10^{A_{s}/10}-1}{10^{A_{p}/10}-1}}{\text{ (same as }}1/\tau _{1}{\text{ above)}}\\n&=ceil{\bigg (}{\frac {\log {16D}}{\log(1/q)}}{\bigg )}\\\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle \omega _{p}}$y son la frecuencia de ondulación de la banda de paso y la atenuación máxima de ondulación en dB ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$y son la frecuencia de la banda suprimida y la atenuación mínima de la banda suprimida en dB ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$es el número mínimo de polos, el orden del filtro.

ceil [] es una función de redondeo al siguiente entero.

Filtros elípticos de factor Q mínimo

Los factores Q normalizados de los polos de un filtro elíptico de octavo orden con ξ  = 1,1 en función del factor de ondulación ε . Cada curva representa cuatro polos, ya que los pares de polos conjugados complejos y los pares de polos positivos-negativos tienen el mismo factor Q. (Las curvas azul y cian casi coinciden). El factor Q de todos los polos se minimiza simultáneamente en ε _Qmin  = 1 /  √ L _n  = 0,02323...

Véase Lutovac y et al. (2001, § 12.11, 13.14).

Los filtros elípticos generalmente se especifican requiriendo un valor particular para la ondulación de la banda de paso, la ondulación de la banda de parada y la nitidez del corte. Esto generalmente especificará un valor mínimo del orden de filtro que debe usarse. Otra consideración de diseño es la sensibilidad de la función de ganancia a los valores de los componentes electrónicos utilizados para construir el filtro. Esta sensibilidad es inversamente proporcional al factor de calidad ( factor Q ) de los polos de la función de transferencia del filtro. El factor Q de un poste se define como:

${\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}$

y es una medida de la influencia del polo sobre la función de ganancia. Para un filtro elíptico, sucede que, para un orden dado, existe una relación entre el factor de ondulación y el factor de selectividad que minimiza simultáneamente el factor Q de todos los polos en la función de transferencia:

${\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}$

Esto da como resultado un filtro que es máximamente insensible a las variaciones de los componentes, pero se perderá la capacidad de especificar de forma independiente las ondulaciones de la banda de paso y de la banda de parada. Para dichos filtros, a medida que aumenta el orden, la ondulación en ambas bandas disminuirá y la tasa de corte aumentará. Si uno decide utilizar un filtro elíptico de Q mínimo para lograr una ondulación mínima particular en las bandas del filtro junto con una tasa de corte particular, el orden necesario generalmente será mayor que el orden que se necesitaría sin el Q mínimo. restricción. Una imagen del valor absoluto de la ganancia se parecerá mucho a la imagen de la sección anterior, excepto que los polos están dispuestos en un círculo en lugar de una elipse. No estarán espaciados uniformemente y habrá ceros en el eje ω, a diferencia del filtro Butterworth , cuyos polos están dispuestos en un círculo espaciado uniformemente sin ceros.

Comparación con otros filtros lineales

Aquí hay una imagen que muestra el filtro elíptico junto a otros tipos comunes de filtros obtenidos con el mismo número de coeficientes:

Como se desprende claramente de la imagen, los filtros elípticos son más nítidos que todos los demás, pero muestran ondulaciones en todo el ancho de banda.

Construcción a partir de los ceros de transmisión de Chebyshev.

Las bandas de parada de filtro elíptico son esencialmente filtros de Chebyshev con ceros de transmisión donde los ceros de transmisión están dispuestos de una manera que produce una banda de parada de ondulación equivalente. Dado esto, es posible convertir una ecuación característica del filtro de Chebyshev, que contiene los ceros de reflexión de Chebyshev en el numerador y los ceros sin transmisión en el denominador, en un filtro elíptico que contiene los ceros de reflexión elípticos en el numerador y los ceros de transmisión elíptica en el denominador. creando iterativamente ceros de transmisión a partir de la inversa escalada de los ceros de reflexión de Chebyshev, y luego restableciendo una banda de paso de Chebyshev con ondulación equivalente a partir de los ceros de transmisión, y repitiendo hasta que las iteraciones no produzcan más cambios significativos para . ^[3] El factor de escala utilizado , es la relación de frecuencia de corte entre la banda de parada y la banda de paso y también se conoce como el inverso del "factor de selectividad". ^[2] Dado que los diseños elípticos generalmente se especifican a partir de los requisitos de atenuación de la banda de parada, , se puede derivar de las ecuaciones que establecen el orden mínimo, n, arriba. ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

la relación, se puede derivar trabajando el orden mínimo, n , problema anterior hacia atrás desde n para encontrar . ^[2] ${\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\text{ number of poles (order of the filter)}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={\text{ real root of above equation}}\\k&={\text{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}}$

Los polinomios característicos, calculados a partir de los requisitos de atenuación, pueden luego traducirse a polinomios de función de transferencia, con la traducción clásica, donde y es la ondulación de la banda de paso. ^{[3] [4]} ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.}$ ${\displaystyle A_{p}}$

Ejemplo sencillo

Diseñe un filtro elíptico con una ondulación de banda de paso de 1 dB de 0 a 1 rad/seg y una ondulación de banda de parada de 40 dB de al menos 1,25 rad/seg a . ${\displaystyle \infty }$

Al aplicar los cálculos anteriores para el valor de n antes de aplicar la función ceil() , se encuentra que n es 4,83721900 redondeado al siguiente entero, 5, al aplicar la función ceil() , lo que significa que se requiere un filtro elíptico de 5 polos. para cumplir con los requisitos de diseño especificados. Al aplicar los cálculos anteriores para diseñar una banda de atenuación de exactamente 40 dB, se encuentra que es 1,2186824. ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

La función de inversión escalada del polinomio se puede realizar traduciendo cada raíz, s , a , lo que se puede lograr fácilmente invirtiendo el polinomio y escalandolo en , como se muestra. ${\displaystyle \Omega _{c}/s}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}}$

Los pasos de diseño de la elíptica son entonces los siguientes: ^[3]

1. Diseñe un filtro Chebyshev con ondulación de banda de paso de 1 dB.
2. Invierte todos los ceros de reflexión a punto de crear ceros de transmisión. ${\displaystyle \Omega _{c}}$
3. Cree una banda de paso de ondulación equivalente a partir de los ceros de transmisión utilizando el proceso descrito en los ceros de transmisión de Chebyshev.
4. Repita los pasos 2 y 3 hasta que tanto la banda de paso como la banda de parada ya no cambien en una cantidad apreciable. Normalmente, de 15 a 25 iteraciones producen diferencias de coeficientes del orden de 1.e-15.

Para ilustrar los pasos, las siguientes ecuaciones de K(s) comienzan con una K(s) estándar de Chebyshev y luego repiten el proceso. Se ven diferencias visibles en las tres primeras iteraciones. Cuando se han alcanzado las 18 iteraciones, las diferencias en K(s) se vuelven insignificantes. Las iteraciones pueden interrumpirse cuando el cambio en los coeficientes K(s) sea lo suficientemente pequeño como para cumplir con los requisitos de precisión del diseño. Todas las K(s) iteraciones siguientes se han normalizado de modo que , sin embargo, este paso puede posponerse hasta la última iteración, si se desea. ${\displaystyle |K(j)|=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{\text{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{\text{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{\text{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{\text{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

Para encontrar la función de transferencia, haga lo siguiente. ^[3] ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

Para obtener desde el semiplano izquierdo, factorice el numerador y el denominador para obtener las raíces usando un algoritmo de búsqueda de raíces . Descarta todas las raíces del semiplano derecho del denominador, la mitad de las raíces repetidas en el numerador y reconstruye con las raíces restantes. ^{[3] [4]} Generalmente, normalice a 1 en . ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}}$

Para confirmar que el ejemplo es correcto, a continuación se muestra el gráfico de longitud con una ondulación de la banda de paso de 1 dB, una frecuencia de corte de 1 rad/s y una atenuación de banda de parada de 40 dB que comienza en 1,21868 rad/s. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle j\omega }$

Simulación elíptica de cinco polos.

Incluso modificaciones de pedidos

Incluso los filtros elípticos ordenados implementados con elementos pasivos, típicamente inductores, capacitores y líneas de transmisión, con terminaciones de igual valor en cada lado, no se pueden implementar con la función de transferencia elíptica tradicional sin el uso de bobinas acopladas, lo que puede no ser deseable o factible. Esto se debe a la incapacidad física para acomodar los ceros de reflexión y transmisión de Chebyshev de orden par que dan como resultado los valores S12 de la matriz de dispersión que exceden el valor S12 en y los valores finitos de S12 que existen en . Si no es factible diseñar el filtro con una de las terminaciones aumentada o disminuida para acomodar la banda de paso S12, entonces la función de transferencia elíptica debe modificarse para mover el cero de reflexión de orden par más bajo y el cero de transmisión de orden par más alto. mientras se mantiene la respuesta de ondulación equivalente de la banda de paso y la banda de parada. ^[5] ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =\infty }$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =\infty }$

La modificación necesaria implica mapear cada polo y cero de la función de transferencia elíptica de una manera que mapee la reflexión de frecuencia más baja de cero a cero, la transmisión de frecuencia más alta de cero a y los polos y ceros restantes según sea necesario para mantener la banda de paso de ondulación equivalente. y detener la banda. El cero de reflexión de frecuencia más baja se puede encontrar factorizando el numerador, y el cero de transmisión de frecuencia más alta se puede encontrar factorizando el denominador. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

Al traducir los ceros de reflexión, se aplica la siguiente ecuación a todos los polos y ceros de . ^[5] Si bien en teoría las operaciones de traducción se pueden realizar en o , los ceros de reflexión deben extraerse de , por lo que generalmente es más eficiente realizar las operaciones de traducción en . ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}}$

Dónde:

${\displaystyle R_{i}}$es la función elíptica original cero o polo

${\displaystyle R_{i}'}$es el cero o polo asignado para la función de transferencia de orden par modificada.

${\displaystyle \omega _{LO}}$es el cero de reflexión de frecuencia más baja en la banda de paso.

El signo del componente imaginario está determinado por el signo del original . ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle R_{i}}$

Para traducir los ceros de transmisión, se aplica la siguiente ecuación a todos los polos y ceros de . ^[5] Si bien en teoría las operaciones de traducción se pueden realizar en o , si se deben extraer los ceros de reflexión de , puede ser más eficiente realizar las operaciones de traducción en . ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}}$

Dónde:

${\displaystyle R_{i}}$es la función elíptica original cero o polo

${\displaystyle R_{i}'}$es el cero o polo asignado para la función de transferencia de orden par modificada.

${\displaystyle \omega _{HI}}$es el cero de transmisión de frecuencia más alta en la banda de paso.

El signo del componente imaginario está determinado por el signo del original . Si se opera con el signo del componente real, debe ser negativo para cumplir con el requisito del semiplano izquierdo. ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle R_{i}'}$

Es importante tener en cuenta que todas las aplicaciones requieren traducciones de aprobación y detención. Los diplexores de red pasivos, por ejemplo, solo requieren traducciones de bandas de parada de orden par y funcionan de manera más eficiente con bandas de paso de orden par sin traducir. ^[5]

Cuando se completa, se crea una función de transferencia de ondulación equivalente con valores de matriz de dispersión para S12 de 1 y 0 en , que puede implementarse con redes pasivas terminadas igualmente. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =\infty }$

La siguiente ilustración muestra un filtro elíptico de octavo orden modificado para admitir redes pasivas de orden par igualmente terminadas reubicando el cero de reflexión de frecuencia más baja de una frecuencia finita a 0 y la transmisión de frecuencia más alta de cero a mientras se mantiene una banda de paso con ondulación equivalente y una frecuencia de banda de parada. respuesta. ${\displaystyle \infty }$

Orden uniforme ilustración elíptica modificada

El cálculo del orden y en el párrafo anterior sobre construcción elíptica es solo para filtros elípticos no modificados. Aunque incluso las modificaciones de orden no tienen efecto sobre la atenuación de la banda de paso o de la banda de parada, se esperan pequeños errores en el orden y los cálculos. Por lo tanto, es importante aplicar modificaciones de orden uniforme después de completar todas las iteraciones si se desea preservar las atenuaciones de las bandas de paso y parada. Si la función elíptica modificada en orden par se crea a partir de un requisito, el valor real será ligeramente mayor que el diseño . Del mismo modo, un cálculo de orden, n , puede dar como resultado un valor menor que el orden real requerido. ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

Implementación de reloj de arena

Un filtro de reloj de arena es un caso especial de filtro donde los ceros de reflexión son el recíproco de los ceros de transmisión alrededor de una frecuencia de atenuación de corte normalizada de 3,01 dB de 1 rad/seg, lo que da como resultado que todos los polos del filtro residan en el círculo unitario. ^[6] La implementación del reloj de arena elíptico tiene una ventaja sobre un filtro Chebyshev inverso en que la banda de paso es más plana y tiene una ventaja sobre los filtros elípticos tradicionales en que el retardo de grupo tiene un pico menos agudo en la frecuencia de corte.

Respuesta de frecuencia S11 y S12 recíproca de reloj de arena de 7 polos

Proceso de síntesis

La forma más sencilla de sintetizar un filtro de reloj de arena es diseñar un filtro elíptico con una atenuación de banda de parada de diseño específica, As , y una atenuación de banda de paso calculada que cumpla con el requisito de red de dos puertos sin pérdidas que los parámetros de dispersión . ^[7] Junto con la conocida magnitud dB a la traducción aritmética, la manipulación algebraica produce el siguiente requisito calculado de atenuación de banda de paso. ${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}$ ${\displaystyle (S_{ij})_{dB}=20log_{10}(|S_{ij}|_{arith})}$

${\displaystyle A_{p}=-10\log _{10}{(1.-10^{(-A_{s}/10)})}}$

El Ap , definido anteriormente producirá ceros de reflexión y transmisión recíprocos alrededor de una frecuencia de corte aún desconocida de 3,01 dB _. Para diseñar un filtro elíptico con una frecuencia de banda de paso de 1 rad/s, es necesario determinar la frecuencia de atenuación de 3,01 dB y utilizar esa frecuencia para escalar inversamente los polinomios de diseño elíptico. El resultado serán polinomios con una atenuación de 3,01 dB a una frecuencia normalizada de 1 rad/seg. Se puede utilizar el método de Newton o resolver las ecuaciones directamente con un algoritmo de búsqueda de raíces para determinar la frecuencia de atenuación de 3,01 dB.

Escalado de frecuencia con el método de Newton.

Si es la función de transferencia de reloj de arena para encontrar la frecuencia de 3.01 dB y es la frecuencia de 3 dB para encontrar, se pueden usar los pasos a continuación para encontrar ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$

1. Si aún no está disponible, multiplíquelo por para obtener . ${\displaystyle G(s)G(-s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(-s)}$ ${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. negar todos los términos de cuando es divisible por . Sería , , , y así sucesivamente. La función modificada se llamará , y esta modificación permitirá el uso de números reales en lugar de números complejos al evaluar el polinomio y su derivada. Ahora se puede utilizar lo real en lugar del complejo. ${\displaystyle s^{n}}$ ${\displaystyle (n+2)}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle s^{2}}$ ${\displaystyle s^{6}}$ ${\displaystyle s^{10}}$ ${\displaystyle G_{2}(s)G_{2}(-s)}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle j\omega _{a}}$
3. Convierta la atenuación deseada en dB, a un valor de ganancia aritmética al cuadrado, utilizando . Por ejemplo, 3,010 dB se convierte en 0,5, 1 dB se convierte en 0,79432823 y así sucesivamente. ${\displaystyle A_{dB}}$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}}$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
4. Calcule el modificado en el método de Newton usando el valor real, . Tome siempre el valor absoluto. ${\displaystyle |G_{2}(s)G_{2}(-s)|}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$
5. Calcular la derivada modificada respecto del valor real, . NO tome el valor absoluto de la derivada. ${\displaystyle G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$

Cuando se completan los pasos 1) a 4), la expresión que involucra el método de Newton se puede escribir como:

${\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-([G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}$

usando un valor real para sin necesidad de aritmética compleja. El movimiento de debe limitarse para evitar que se vuelva negativo al principio de las iteraciones para aumentar la confiabilidad. Cuando se completa la convergencia, se puede utilizar para escalar el denominador de la función de transferencia original. La atenuación del modificado será entonces prácticamente el valor exacto deseado a 1 rad/seg. Si se realiza correctamente, solo se necesitan unas pocas iteraciones para establecer la atenuación a través de una amplia gama de valores de atenuación deseados para filtros de orden pequeño y muy grande. ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

Escalado de frecuencia con búsqueda de raíces.

Dado que no contiene información de fase, factorizar directamente la función de transferencia no producirá resultados utilizables. Sin embargo, la función de transferencia se puede modificar multiplicándola por para eliminar todas las potencias impares de , lo que a su vez obliga a ser real en todas las frecuencias, y luego encontrando la frecuencia que resulta en el cuadrado de la atención deseada. ${\displaystyle |G(j\omega _{a})|}$ ${\displaystyle G(-s)}$ ${\displaystyle G(j\omega a)}$ ${\displaystyle G(j\omega a)}$

1. Si aún no está disponible, multiplíquelo por para obtener . ${\displaystyle G(s)G(-s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(-s)}$ ${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. Convierta la atenuación deseada en dB, a un valor de ganancia aritmética al cuadrado, utilizando . Por ejemplo, 3,010 dB se convierte en 0,5, 1 dB se convierte en 0,79432823 y así sucesivamente. ${\displaystyle A_{dB}}$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}}$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
3. Encontrar ${\displaystyle P(S)=G_{num}(S)G_{num}(-S)-B_{arith}^{2}G_{den}(S)G_{den}(-S)}$
4. Encuentre las raíces de P(S) usando un algoritmo de búsqueda de raíces.
5. Del conjunto de raíces de arriba, seleccione la raíz imaginaria positiva para todos los filtros de orden y la raíz real positiva para los filtros de orden par para . ${\displaystyle \omega _{c}}$

Escalar la función de transferencia

Una vez determinado, el polinomio de la función de transferencia de reloj de arena se puede escalar de la siguiente manera: ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)_{\text{orig}}&={\frac {N_{nn}s^{nn}+\dots +N_{2}s^{2}+N_{1}s+N_{0}}{D_{nn}s^{nd}+\dots +D_{2}s^{2}+D_{1}s+D_{0}}}{\text{ (original unscaled transfer function polynomials)}}\\G(s)_{\text{ scaled}}&={\frac {N_{nn}(\omega _{c}s)^{nn}+\dots +N_{2}(\omega _{c}s)^{2}+N_{1}\omega _{c}s+N_{0}}{D_{nn}(\omega _{c}s)^{nd}+\dots +D_{2}(\omega _{c}s)^{2}+D_{1}\omega _{c}s+D_{0}}}{\text{ (}}3.01{\text{ dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials)}}\\\omega _{c}&=|G(s)|{\text{ 3.01 dB attenuation frequency }}\\nn,nd&={\text{ order of numerator and denominator, respectively}}\\N,D&={\text{ coefficients of numerator and denominator, respectively}}\\\end{aligned}}}$

Incluso modificaciones de pedidos

Los filtros de reloj de arena de orden uniforme tienen las mismas limitaciones con respecto a redes pasivas con terminaciones iguales que otros filtros elípticos. Las mismas modificaciones de orden que resuelven el problema con los filtros elípticos también resuelven el problema con los filtros de reloj de arena.

Referencias

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4. Sedra, Adel S.; Brackett, Peter O. (1978). Teoría y diseño de filtros: activos y pasivos. Beaverton, Oegon, EE. UU.: Matrix Publishers, Inc. págs. ISBN 978-0916460143.
5. Saal, Rudolf (enero de 1979). Manual de diseño de filtros (en inglés y alemán) (1ª ed.). Múnich, Alemania: Allgemeine Elektricitais-Gesellschaft. págs.25, 26, 56–61, 116, 117. ISBN 3-87087-070-2.
6. Bennett, Byron J. (diciembre de 1988). "Una nueva técnica de síntesis de filtros: el reloj de arena". Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas . 35 (12): 1469–1477 - vía IEEE.
7. Matthaei, George L.; Joven, Leo; Jones, paramédico (1984). Filtros de microondas, redes de adaptación de impudencia y estructuras de acoplamiento. 610 Washington Street, Dedham, Massachusetts, EE. UU.: Artech House, Inc. (publicado en 1985). pag. 44.ISBN​ 0-89006-099-1.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

• Daniels, Richard W. (1974). Métodos de aproximación para el diseño de filtros electrónicos . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
• Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Diseño de filtros para procesamiento de señales utilizando MATLAB y Mathematica. Nueva Jersey, Estados Unidos: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.