Teorema de Fatou

En matemáticas, específicamente en análisis complejo , el teorema de Fatou , llamado así en honor a Pierre Fatou , es un enunciado relativo a las funciones holomorfas en el disco unitario y su extensión puntual hasta el límite del disco.

Motivación y enunciado del teorema

Si tenemos una función holomorfa definida en el disco unitario abierto , es razonable preguntar bajo qué condiciones podemos extender esta función hasta el límite del disco unitario. Para ello, podemos observar cómo se ve la función en cada círculo dentro del disco centrado en 0, cada uno con un radio . Esto define una nueva función: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z:|z|<1\}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{r}:S^{1}\to \mathbb {C} \\f_{r}(e^{i\theta })=f(re^{i\theta })\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle S^{1}:=\{e^{i\theta }:\theta \in [0,2\pi ]\}=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\},}$

es el círculo unitario. Entonces se esperaría que los valores de la extensión de sobre el círculo fueran el límite de estas funciones, y por lo tanto la cuestión se reduce a determinar cuándo converge, y en qué sentido, como , y qué tan bien definido está este límite. En particular, si las normas de estas se comportan bien, tenemos una respuesta: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle r\to 1}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f_{r}}$

Teorema. Sea una función holomorfa tal que ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\|f_{r}\|_{L^{p}(S^{1})}<\infty ,}$

donde se definen como se indica arriba. Entonces converge a alguna función puntualmente casi en todas partes y en la norma. Es decir, ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle f_{1}\in L^{p}(S^{1})}$ ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{r}(e^{i\theta })-f_{1}(e^{i\theta })\right|&\to 0&&{\text{for almost every }}\theta \in [0,2\pi ]\\\|f_{r}-f_{1}\|_{L^{p}(S^{1})}&\to 0\end{aligned}}}$

Ahora, observe que este límite puntual es un límite radial. Es decir, el límite que se toma va a lo largo de una línea recta desde el centro del disco hasta el límite del círculo, y la afirmación anterior dice que

${\displaystyle f(re^{i\theta })\to f_{1}(e^{i\theta })\qquad {\text{for almost every }}\theta .}$

La pregunta natural es, con esta función límite definida, ¿convergeremos puntualmente a esta función tomando un límite de cualquier otra manera? Es decir, supongamos que en lugar de seguir una línea recta hasta el límite, seguimos una curva arbitraria que converge a algún punto en el límite. ¿ Convergerá a ? (Tenga en cuenta que el teorema anterior es solo el caso especial de ). Resulta que la curva debe ser no tangencial , lo que significa que la curva no se acerca a su objetivo en el límite de una manera que la haga tangente al límite del círculo. En otras palabras, el rango de debe estar contenido en una cuña que emane del punto límite. Resumimos de la siguiente manera: ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}(e^{i\theta })}$ ${\displaystyle \gamma (t)=te^{i\theta }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Definición. Sea una trayectoria continua tal que . Definir ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }\in S^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\alpha }&=\{z:\arg z\in [\pi -\alpha ,\pi +\alpha ]\}\\\Gamma _{\alpha }(\theta )&=\mathbb {D} \cap e^{i\theta }(\Gamma _{\alpha }+1)\end{aligned}}}$

Es decir, es la cuña dentro del disco con ángulo cuyo eje pasa entre y cero. Decimos que converge no tangencialmente a , o que es un límite no tangencial , si existe tal que esté contenido en y . ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$ ${\displaystyle 2\alpha }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle 0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$ ${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }}$

Teorema de Fatou. Sea entonces para casi todos ${\displaystyle f\in H^{p}(\mathbb {D} ).}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$

${\displaystyle \lim _{t\to 1}f(\gamma (t))=f_{1}(e^{i\theta })}$

para cada límite no tangencial que converge a donde se define como arriba. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e^{i\theta },}$ ${\displaystyle f_{1}}$

Discusión

• La prueba utiliza la simetría del núcleo de Poisson usando la función máxima de Hardy-Littlewood para el círculo.
• El teorema análogo se define con frecuencia para el espacio de Hardy sobre el semiplano superior y se demuestra de una manera muy similar.

Véase también

• Espacio resistente

Referencias

• John B. Garnett, Funciones analíticas acotadas , (2006) Springer-Verlag, Nueva York
• Krantz, Steven G. (2007). "El comportamiento en el límite de funciones holomorfas: resultados globales y locales". Revista asiática de matemáticas . 11 (2): 179–200. arXiv : math/0608650 . doi : 10.4310/AJM.2007.v11.n2.a2 . S2CID  56367819.
• Walter Rudin. Análisis real y complejo (1987), 3.ª ed., McGraw Hill, Nueva York.
• Elias Stein , Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones (1970), Princeton University Press, Princeton.