Secuencia de Følner

En matemáticas , una secuencia de Følner para un grupo es una secuencia de conjuntos que satisfacen una condición particular. Si un grupo tiene una secuencia de Følner con respecto a su acción sobre sí mismo, el grupo es dócil . Se puede definir una noción más general de redes de Følner de manera análoga, y es adecuada para el estudio de grupos incontables . Las secuencias de Følner se denominan así por Erling Følner .

Definición

Dado un grupo que actúa sobre un conjunto numerable , una secuencia de Følner para la acción es una secuencia de subconjuntos finitos de los cuales se agotan y que "no se mueven demasiado" cuando actúa sobre ellos cualquier elemento del grupo. Precisamente, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Para cada , existe algún tal que para todos , y ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x\in F_{j}}$ ${\displaystyle j>i}$

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {|gF_{i}\mathbin {\triangle } F_{i}|}{|F_{i}|}}=0}$para todos los elementos del grupo en . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$

Explicación de la notación utilizada anteriormente:

• ${\displaystyle gF_{i}\ }$es el resultado de que el conjunto actúe sobre la izquierda de . Consta de elementos de la forma para todos en . ${\displaystyle F_{i}\ }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F_{i}}$
• ${\displaystyle \triangle }$es el operador de diferencia simétrica , es decir, es el conjunto de elementos en exactamente uno de los conjuntos y . ${\displaystyle A\mathbin {\triangle } B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle |A|}$es la cardinalidad de un conjunto . ${\displaystyle A}$

Por lo tanto, lo que dice esta definición es que para cualquier elemento del grupo , la proporción de elementos de que se alejan tiende a 0 a medida que se hace grande. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F_{i}\ }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle i}$

En el caso de un grupo localmente compacto que actúa sobre un espacio de medida, existe una definición más general. En lugar de ser finitos, se requiere que los conjuntos tengan una medida finita y distinta de cero, por lo que el requisito de Følner será que ${\displaystyle (X,\mu )}$

• ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {\mu (gF_{i}\mathbin {\triangle } F_{i})}{\mu (F_{i})}}=0}$,

Análogamente al caso discreto. El caso estándar es el del grupo que actúa sobre sí mismo por traslación izquierda, en cuyo caso se supone normalmente que la medida en cuestión es la medida de Haar .

Ejemplos

• Cualquier grupo finito tiene trivialmente una secuencia de Følner para cada . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{i}=G}$ ${\displaystyle i}$
• Consideremos el grupo de números enteros , que actúa sobre sí mismo por adición. Sea , formado por los números enteros entre y . Entonces , formado por los números enteros entre y . Para , la diferencia simétrica tiene un tamaño de , mientras que tiene un tamaño de . La razón resultante es , que tiende a 0 a medida que , se hace grande. ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle gF_{i}}$ ${\displaystyle g-i}$ ${\displaystyle g+i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2g}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle 2i+1}$ ${\displaystyle 2g/(2i+1)}$ ${\displaystyle i}$
• Con la definición original de secuencia de Følner, un grupo tiene una secuencia de Følner si y solo si es contable y susceptible de ser asignado.
• Un grupo localmente compacto tiene una secuencia de Følner (con la definición generalizada) si y solo si es susceptible y contable en segundo lugar .

Prueba de amabilidad[ cita requerida ]

Tenemos un grupo y una secuencia de Følner , y necesitamos definir una medida en , que filosóficamente hablando dice cuánto ocupa cualquier subconjunto . La definición natural que utiliza nuestra secuencia de Følner sería ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mu (A)=\lim _{i\to \infty }{|A\cap F_{i}| \over |F_{i}|}.}$

Por supuesto, este límite no existe necesariamente. Para superar este tecnicismo, tomamos un ultrafiltro en los números naturales que contiene intervalos . Luego, usamos un ultralímite en lugar del límite regular : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [n,\infty )}$

${\displaystyle \mu (A)=U-\lim {|A\cap F_{i}| \over |F_{i}|}.}$

Resulta que los ultralímites tienen todas las propiedades que necesitamos. Es decir,

1. ${\displaystyle \mu }$es una medida de probabilidad . Es decir, , ya que el ultralímite coincide con el límite regular cuando existe. ${\displaystyle \mu (G)=U-\lim 1=1}$
2. ${\displaystyle \mu }$es finitamente aditivo . Esto se debe a que los ultralímites conmutan con la adición, al igual que los límites regulares.
3. ${\displaystyle \mu }$se deja invariante . Esto es así porque

   ${\displaystyle \left|{|gA\cap F_{i}| \over |F_{i}|}-{|A\cap F_{i}| \over |F_{i}|}\right|=\left|{|A\cap g^{-1}F_{i}| \over |F_{i}|}-{|A\cap F_{i}| \over |F_{i}|}\right|}$

   ${\displaystyle \leq {|A\cap (g^{-1}F_{i}\mathbin {\triangle } F_{i})| \over |F_{i}|}\to 0}$

por la definición de secuencia de Følner.

Referencias

• Erling Følner (1955). "Sobre grupos con valor medio de Banach completo". Mathematica Scandinavica . 3 : 243–254.